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数据科学家养成手册 [:1700503492]
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1.4.2 极限和微积分
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除了牛顿三大定律，在大学理工科专业必学的微积分同样与牛顿的理论研究有着非常重要的关系。
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从17世纪开始，随着欧洲社会的进步和生产力的发展，以及航海、天文等许多领域有大量新问题需要解决，数学也开始研究变化量，进入了“变量数学”时代。在17世纪有数十位科学家为微积分的创立进行了开创性的研究，但使微积分逐步体系化并成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨(11)这两位数学家。在前面我们提到的阿基米德计算圆面积的过程中已经包含了这种“从有穷到无穷”的逼近思想，这或许就是微积分思想最为原始的萌芽吧。在那个时代，不仅在西欧，在中国同样有智者在用类似的方式计算圆的面积。
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3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽（约公元225年～295年，如图1-16所示）首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法（如图1-17所示）。
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图1-16 刘徽 图1-17 刘徽割圆术示意图 根据刘徽的记载，此前人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用“出入相补”原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》中的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种“合径率一而弧周率三也”（即后来常说的“周三径一”）的论证当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补无法证明《九章算术》中所述的圆面积公式。因此，刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。也就是说，将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再增加的时候，圆内接正多边形面积的极限就是圆面积。
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刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂”是后一次与前一次割圆的差值，可以用图1-17中小灰色三角形面积的倍数来表示。刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘以正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。他认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣”。也就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了，因此圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是，内外两侧序列都趋向于同一数值，即圆面积。
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微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分（Integration）及有关概念和应用的数学分支，是数学的一个基础学科。微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用等。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括求积分的一系列运算，为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法。
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牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》（Methodus Fluxionum Et Serierum Infinitarum）一书，但这本书直到1736年才出版。牛顿在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前他认为的变量是无穷小元素的静止集合。牛顿把连续变量称为流动量，把这些流动量的导数称为流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度，求给定时间内经过的路程（积分法）。
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（如图1-18所示）也是为微积分理论的创立立下不朽功勋的大数学家。其实，牛顿和莱布尼茨的研究是独立进行的，并在相近的时间先后完成。比较特殊的是，牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿早3年。他们的研究各有长短。在那时，由于民族偏见，关于微积分发明优先权的争论竟从1699年开始延续了100多年。
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图1-18 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
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我们现在一直使用的积分符号 其实是莱布尼茨创造的。
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（1）定积分
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如果f(x)在 [a, b] 上连续，并且存在原函数F(x)，那么
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也可以写作
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这个公式也叫作“牛顿-莱布尼茨”公式，是定积分含义的公式体现。
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（2）微分
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设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx，在此区间内如果增量
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