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数据科学家养成手册 1.5 高斯——高,实在是高
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在我很小的时候读过一套叫作《十万个为什么》(12)的科普丛书,非常有趣。在这套书的数学卷中提到过下面这个小故事。
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高斯10岁的时候进入学校里教授算术的班。这是一个首次创办的班,孩子们在这之前都没听说过“算术”这门课程。班上的数学教师是布特纳,他对高斯的成长也起了一定的作用。
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一天,布特纳老师布置了一道题:1+2+3……这样从1一直加到100等于多少?当大家还在一步步计算的时候,高斯很快就算出了答案——5050。起初,布特纳老师并不相信高斯算出了正确答案,他说:“你一定是算错了,回去再算算。”高斯是这样算的:1+100=101,2+99=101,3+98=101……以此类推,从1到100中有50组这样的数,所以答案很快就能计算出来——50×101=5050。这个故事数百年来被传为佳话,说明高斯在很小的时候就有极为出众的数学计算技巧。
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高斯的全名是约翰·卡尔·弗里德里希·高斯(Johann Karl Friedrich Gauss,1777年4月~1855年2月),他是德国著名的数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家,近代数学的奠基者之一,也被认为是历史上最重要的数学家之一。高斯一生成就极为丰硕,以他的名字命名的成果达110个,可谓“前无古人,后无来者”,对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。高斯的主要著作如表1-3所示。
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表1-3 高斯的主要著作
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出版时间 著作 1801年 《算术研究》 1809年 《天体运动理论》 1827年 《曲面的一般研究》 1843年或1844年 《高等大地测量学理论》(上) 1846年或1847年 《高等大地测量学理论》(下) 1839年 《地磁的一般理论》 1840年 《地磁概念》 1840年 《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》 在大学学习统计学的过程中,我们一定会接触正态分布(Normal Distribution)这个名词。正态分布也叫“高斯分布”(Gaussian Distribution),公式如下。
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若随机变量x服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的概率分布,其概率密度函数为
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正态分布的概念是由法国裔英国籍数学家亚伯拉罕·棣莫弗(13) (如图1-19所示)于1733年用阶乘的近似公式导出正态分布概率曲线时首次提出的,不过由于高斯率先将这一公式应用于天文学领域的研究并广泛使用,所以后世还是将这一公式所表示的分布特点称为“高斯分布”。
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图1-19 亚伯拉罕·棣莫弗
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高斯使用的“最小二乘法”发表于他1809年的著作《天体运动论》中。1829年,高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明,该证明被称为“高斯-马尔可夫定理”(Gauss–Markov Theory)。这种方法后来长期应用于线性回归算法中的残差分析,直到今天。
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高斯一生发表了多达155篇高质量的论文。他对待学问的态度十分严谨,只把他自己认为十分成熟的作品发表出来。后世对高斯的赞誉极高。贝尔(14)曾经这样评论高斯:“在高斯死后,人们才知道他早就预见到一些19世纪的数学知识和领域,而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西公布出来,很可能比当今数学还要先进半个世纪或更长的时间。”爱因斯坦也曾高度评价高斯:“高斯对近代物理学的发展,尤其是对相对论的数学基础所作的贡献(主要指曲面论),其重要性是超越一切,无与伦比的。”
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从1989年到2001年年底,高斯的肖像和他所写的正态分布曲线,以及一些在哥廷根(高斯去世的地方)非常突出的建筑物,都一直在10德国马克的钞票票面上出现。此外,德国发行了3种纪念和表彰高斯的邮票。一种邮票(第725号)发行于1955年,即高斯逝世100周年;另外两种邮票(第1246号和第1811号)发行于1977年,即高斯诞辰200周年(如图1-20所示)。
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图1-20 邮票上的高斯像
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高斯对近现代数学的贡献,我们从贝尔和爱因斯坦这两位大科学家的评价中可见一斑。他对数学的贡献,尤其是对数学基础研究的贡献,为后来一系列数学分支领域的深入研究奠定了坚实的基础。
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数据科学家养成手册 1.6 离经叛道的爱因斯坦
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阿尔伯特·爱因斯坦(1879年3月~1955年4月,如图1-21所示),著名的犹太裔物理学家。1879年出生于德国乌尔姆市,1900年毕业于瑞士苏黎世联邦理工学院,1901年加入瑞士国籍。1905年获苏黎世大学哲学博士学位,提出光子假设,成功解释了光电效应。不过在16年后的1921年,爱因斯坦才因此获得诺贝尔物理学奖,同年又创立狭义相对论。狭义相对论依据两条原理:相对性原理和光速不变原理。1915年,爱因斯坦提出了广义相对论引力方程的完整形式,并成功解释了水星近日点运动。
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