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数据科学家养成手册 10.2 罗伯特·梅的养鱼计划
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罗伯特·梅(5)（如图10-3所示），1938年出生于澳大利亚悉尼，科学家，涉猎很广，对理论生态学、人口动态、生物系统的复杂性和稳定性等问题有深入的研究，1973年之后研究完全转向生物学领域。
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图10-3 罗伯特·梅
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在对生物种群的个体数量进行研究的过程中，人们最初使用这样一种线性函数进行描述：
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这里的n和n-1表示相邻的两个观察周期或者生物代。这种思路就是：假设任意的生物种群，无论是大象、长颈鹿，还是鱼、虾、飞鸟等，都有一个自然的增长率。不过，这种假设很快就被人发现有着极大的局限性，因为这种增长可以说是一种无限制的增长。虽然这种模型假说附和了马尔萨斯有关“人口增长不受食物供给和道德约束限制”的“封口增长”理论，但这和我们观察到的现象大相径庭。
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罗伯特·梅及其前人在研究中发现，用一种变形后的公式来描述比较符合生物界的常识。
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这个模型弥补了线性模型假设中的瑕疵：当种群数中的个体数量较小的时候，食物供应量非常充足，种群中的个体数量就会增加；当种群中的个体数量非常大的时候，食物供应量会不足，种群中的个体数量就会减少。
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这种设计看上去确实很完美，不过遵循这种模型的研究很快就遇到了麻烦——罗伯特·梅在研究鱼类种群个体数量的时候碰到了问题（如图10-4所示）。
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图10-4 鱼群个体数量混沌态示意图
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从图10-4中可以清晰地看到：当k=0.8或者取更小的值时会发生衰减现象，不管初始状态的x1是多少，种群最终都会消亡；当k的值介于1到3之间时，会出现平衡态的效果，即种群中的个体数量会趋于一个定值；当k介于3到3.5之间时，会出现“双态平衡”的现象，也就是说，最终的种群中的个体数量会由于x1的不同而收敛到两个不同的值上去；当k取更大的值（例如k=3.8）时，则会出现完全不确定的收敛值，最终种群中的个体数量完全无法预测。
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这种现象就是生物种群个体数量研究领域出现的混沌现象。感兴趣的读者可以用Excel来模拟这个过程，你会观测到和罗伯特·梅一样的现象。
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为什么会产生这种现象？在其他领域也会产生这种现象吗？我们很快就会知道答案。
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数据科学家养成手册 10.3 有限的大脑，无限的维
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在人类通过数学建模研究客观世界的过程中，任何一个时代都有才华横溢的科学家向世人展示着他们的技巧。
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不管是在古希腊时期还是在今天，这些科学家在建模的时候无一例外，都要不断对观测对象进行测量和归纳，将观测到的数值进行整理，并用一系列的公式描述它们之间的关系。世界是怎么被创造出来的并不重要，反正人类只能根据当前的认知能力来进行归纳和推测。对于人类有限的大脑来说，能做的只是让自己描述的模型和观察到的现象的差距尽可能小。真正无穷精确的模型是永远不可能得到的。
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对于“不变”的数值，研究起来相对比较容易。例如，《几何原本》中研究的都是固定的几何形状的量的关系，任何因素在其中都没有迭代的影响，所以当一部分因素确定后，其他因素同样会确定下来。对于变化的量，描述方式就相对复杂一些。在3.2.3节我们已经介绍了在连续变化的模型中使用微分方程组进行描述并求解的实例，而在一些观测结果呈现离散特性的模型中，会使用基于数列前后关系描述的模型。
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