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数据科学家养成手册 [:1700503574]
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数据科学家养成手册 10.5 庞加莱“不是省油的灯”
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庞加莱(9)（如图10-9所示）是法国最伟大的数学家之一，也是一位理论科学家和科学哲学家，被公认为“19世纪末和20世纪初的领袖数学家”（在他之前，最近一个被称为“数学全才”的数学家是高斯）。1887年，年仅32岁的庞加莱被选为法国科学院院士，1906年成为法国科学院院长，1909年入选法兰西学术院。
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图10-9 庞加莱
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庞加莱一生的成就很多。由于他在研究10.4节我们提到的三体问题时发现了混沌现象，更使他成为混沌论的开创者。
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三体问题是天体力学诸多问题中的一个基本力学模型，是指3个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题（如图10-10所示）。三体问题其实是“N体问题”研究中N=3时的一个特例。所谓N体问题，是指研究在三维空间中给定N个质点，假设它们之间只存在万有引力作用的情况下，当给定初始位置和速度时它们会如何运动这样一个问题。
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三体问题的研究内容并不神秘，怎么看都觉得只是普通的物理力学问题。作用于其中一个质点Qi，那么Qi收到的合力就可以表示为
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图10-10 三体问题
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这就是用万有引力公式推导过来的，没什么稀奇。其中，mi是质点Qi的质量，mj是天体质点Qj的质量，rij是质点Qi和质点Qj的距离，rj和ri分别是质点Qj和Qi的矢量坐标，G是万有引力常数，n是天体质点数量。
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3个质点就有3个Fij的表达式，每个Fij作用在其对应的天体质点Qi上，会产生一个关于下一时刻位移的表达式，这个表达式最终分解到x、y、z这3个坐标轴上。那么，对于天体质点Qi，会得到如下3个联立的表达式：
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3个质点，共有9个微分方程。
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二体问题早在牛顿时代就已被完满解决，三体问题至今仍悬而未决，且一直是人们关注的焦点。9个微分方程要想得到解析解，简直让人绞尽脑汁。庞加莱将此问题先简化成所谓“限制性三体问题”（如图10-11所示）。
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图10-11 限制性三体问题
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限制性三体问题是三体问题的特殊情况。当所讨论的3个天体中有1个天体的质量与其他2个天体的质量相比小到可以忽略时，这样的三体问题就称为限制性三体问题。首先，我们把小天体的质量m3看成无限小，就可以不考虑它对2个大天体的作用。这样，2个大天体便按照开普勒定律(10)，绕着它们的质量中心做稳定的椭圆运动（不考虑抛物线和双曲线的情形）。然后，我们再来考虑在小天体的质量m3有限时，在2个大天体m1和m2的重力场中的运动。也就是说，将小天体对大天体的作用忽略不计，只考虑大天体对小天体的引力。如此简化，原来的9个微分方程组变成了只有3个变量的微分方程组。航天科学家常用限制性三体问题，研究在月球、地球引力的作用下，人造卫星、火箭及各种飞行器的运动规律。
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不过，即使简化成3个微分方程，只有3个变量，也仍然无法求出精确解。庞加莱意识到，要解决问题，必须想出新的办法，不能“在一棵树上吊死”。既然无法求出精确解，那就放弃寻找精确解，开始定性地研究解的性质。庞加莱运用渐近展开与积分不变性的方法，定性研究小尘埃的轨道（如图10-12所示）。他深入研究小尘埃在所谓“同宿轨道”和“异宿轨道”附近的行为，但一直没有得到令他满意的结果，最后不得不在1888年5月，即瑞典国王奥斯卡二世悬赏求解N体问题的比赛截稿之前提交了他的论文。
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图10-12 小尘埃的轨道
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奥斯卡二世悬赏的评审团成员包括当时3位鼎鼎有名的数学家：法国数学家查尔斯·赫米特(11)，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(12)和他的学生——瑞典数学家米塔-列夫勒(13)。尽管庞加莱没有完全满足奥斯卡二世悬赏的要求，没有解决N体问题，但他160页的论文仍然令评审团的3位数学巨匠兴奋无比。他们认为，庞加莱对三体问题的研究取得了重大突破，太阳系的相对稳定得到了确认。维尔斯特拉斯在给米塔-列夫勒的信中写道：“请告诉您的国王，这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。因此，陛下预期的公开竞赛的目的，可以认为已经达到了。”奥斯卡二世也高兴地把“奥斯卡奖”——2500瑞典克朗和一枚金质奖章授予了庞加莱。