1700516592
天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学证明的游戏
1700516593
1700516594
如果你看到了一篇关于数学的新闻报道，它大概率是这样的内容：一位数学家“证明”了一些伟大而杰出的猜想。1995年，报纸上盈千累万的头条都是关于安德鲁·怀尔斯对费马大定理的彻底证明。2006年，特立独行的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）证明了数学中一个重要的未解决的问题——庞加莱猜想（Poincaréconjecture），这使他获得了赢得百万美元奖励的权利。还有6个“千禧年大奖难题”，它们向数学家发起了挑战：要想证明自己学科的猜想，即使有直觉也依然棘手。
1700516595
1700516596
数学家工作的核心是证明。公理是关于数字和几何的不言自明的真理，证明就是从公理开始的逻辑论证。通过分析公理，我们可以重新组合出关于数字和几何确切的新的表达形式。然后，这些新发现可以构成新证明的基础，而新证明反过来又将引导我们发现公理的更多逻辑结果。数学的发展就像一个有生命的生物体，从先前存在的形式向外不断延伸开来。
1700516597
1700516598
人们常把数学证明比作下国际象棋或围棋。公理是棋盘上棋子的起始位置，逻辑推理规则是决定棋子如何运动的参数，证明是棋子一步一步的运动轨迹。在下国际象棋时，每一步棋都可能有成千上万种可能。例如，开局四步棋之后（黑白各两步），在棋盘上，棋子的分布就已经有71 852种可能了。通常，你不需要走几步棋就能达到这样的效果。对于围棋来说，棋子分布可能性的数量更甚。
1700516599
1700516600
如果我把棋子随机放在棋盘上，你可能会问，有没有可能从初始状态把棋一步一步走成这样？换句话说，随机摆在棋盘上的棋子位置，按照围棋或是国际象棋的规则是可能的吗？这类似于数学中的猜想，例如费马大定理。费马断言当整数n>2时，关于x、y、z的方程xn +yn =zn 没有正整数解。这本身就是一个猜想。数学家所面临的挑战是需要证明得到这样的结果是否符合数学本身的逻辑。费马就是这样把棋子摆在棋盘上，然后说：“我相信你一定能按照棋的规则，把棋一步步走成这样。哈哈哈哈！”安德鲁·怀尔斯和其他为证明费马大定理而努力工作的数学家，就这样确定了“棋子”一系列的移动，最后完成了费马大定理指定的排列方式。
1700516601
1700516602
数学界的艺术之一就是找出这些猜想目标。许多数学家认为，提出正确的猜想比埋头苦算更重要。要发现暗藏在数字里的真相，需要对数学有异常灵敏的嗅觉。这往往就是数学家最具创造性和可以发挥高深莫测技能的地方。数学家只有一辈子都沉浸在数学的世界里，才可能获得关于数学猜想的灵敏嗅觉。这通常是一种不需要解释的直觉和预感，是所有人梦寐以求的东西。
1700516603
1700516604
这就是计算机很难对猜想计算成功的原因之一。自上而下的算法像是一个醉汉在黑暗中跌跌撞撞：它有可能会随机地溜达到一个“有趣的地方”（奇异点），但大多数时候，它的行动没有重点、没有方向，毫无价值。但是，如果算法基于人类数学家的经验进行学习，这种自下而上的结构能否使算法发展出一种对奇异点的直觉呢？
1700516605
1700516606
数学家们是如何建立起这样一种对奇异点的直觉的？这种直觉通常不是巧合——在你脑海里往往有众多案例支撑，或者说应该是存在某种模式的。但是，这种直觉往往稍纵即逝，所以证明出一个猜想是如此的难得和重要。有时，需要数年才能发现一种模式是错误的。我在自己的工作中对一个模式做了一个猜想，一个研究生花了十年的时间才证明了它是错误的。
1700516607
1700516608
关于错误猜想，我最喜欢的一个例子是19世纪伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对质数的猜想。高斯认为Li（x）–π（x）的值总是正的，而且是递增的。所有的证据都表明高斯是对的。如果让一台计算机来解决这个问题，它将产生支持高斯猜想的数据。然而，1914年李特尔伍德从理论上证明了事实正好相反（即存在Li（x）小于π（x））。高斯的猜想是错误的，但证明他错误的这个数字大得惊人（注：李特尔伍德的学生塞缪尔·斯克维斯（Samuel Skewes）首次证明，如果黎曼猜想成立的话，第一个李特尔伍德反例值一定小于这样一个数，我们称之为斯克维斯数，其表示成简单的科学计数法是：10100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 。——译者注），比宇宙中原子的数量还多（注：我们整个可观测宇宙的原子数不过是1080 。——译者注）（即便这样，我们也无法接近这个猜想的崩溃点）。
1700516609
1700516610
这就是所有猜想所面临的问题：我们无法证明它们是真的，还是我们的直觉和现有的数据将我们引入了歧途。为了将那些未经证明的猜想与现已证明的定理联系起来，我们痴迷于尝试建立起一系列数学运算。
1700516611
1700516612
究竟是什么驱使人类去证明？人类创造数学的动机是什么？编写算法来给数学家制造更多的挑战，这会成为我们探索数学领域的新动力吗？数学的起源可以追溯到人类试图理解自己所生活的环境，预测接下来会发生什么，从而使我们更加适应环境，并选择对我们有利的事物。可以说，数学是人类的一种生存行为（我在故我思）。
1700516613
1700516614
1700516615
1700516616
1700516618
天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学的起源
1700516619
1700516620
数学家总是被大家误解。可能大多数人都会这样想象：作为一个数学家，我就必须坐在牛津大学的办公室里，计算着一个有很多很多位小数的数，或者直接对六位数相乘进行口算。诚如哈代所言，数学家本质上是一位规律的探索者和发现者，而数学是发现和解释规律的科学。
1700516621
1700516622
正是这种发现规律的能力让人类在与自然世界的谈判中占据了优势，也正是因为它，让我们能够规划未来。人类非常善于发现这些规律，因为那些错过规律的物种没有能存活下来。当我遇到有人宣称（这种事经常发生）“我没有数学的头脑”时，我就会反驳道：“事实上我们都进化出了数学的头脑，因为我们的大脑善于发现规律。”有时，大脑的工作方法太先进了，会把图案解读成并不存在的数据，就像许多观众看到里希特《4900种色彩》系列绘画作品时感受到的一样。
1700516623
1700516624
我发现，对规律最原始的识别体现在一些最原始的绘画艺术中。拉斯科的洞穴壁画描绘了动物奔跑的精美画面，在这些静止的画面中，人们惊奇地发现了成群结队跑动的野牛。为什么这位艺术家要绘制这些图像，他是以什么样的身份绘制这些图像的？数学家、绘画家、史学家，抑或其他？
1700516625
1700516626
除了这些图像本身，我认为在表象之下还有一些最早的有关数学的记录。壁画上有这样的一些内容：昴宿星团，这是离我们最近也是最亮的几个疏散星团之一，在北半球晴朗的夜空中用肉眼就可以看到它；13个连成一串的圆点，在第13个圆点上方有一只拥有巨大鹿角的牡鹿；连成一串的26个圆点，在最后一个圆点上方是一匹怀孕的马。这些圆点代表了什么？有一种推测是这样的：每个圆点代表一个月的1/4（大约一周）。13周大约是一年的1/4，那么，也许这些点是在描绘一个季节。处于北半球，当昴宿星团黄昏时就出现在天顶的这个季节（秋季9～11月），是狩猎牡鹿的好时机——在这个时候，它们正处于发情期，是脆弱的。
1700516627
1700516628
为了传递这些信息，必须有人发现并指出，动物的一种行为模式似乎每年都会重复出现，而这种行为模式与月相的变化一致。人们认识这种模式的动机显然是出于实际的需求，即推动发现的是实际效用。
1700516629
1700516630
在这里我们看到了数学的第一要素：数字的概念。能够精确地计算出数字的意义对许多动物的生存至关重要，其会告诉动物在面对对手时，是该战斗还是逃走。通过对刚孵化的小鸡进行的复杂试验，证实了对数字认知的复杂能力是大脑固有的，与生俱来的：小鸡可以判断出5个比2个多，而比8个少。
1700516631
1700516632
但是，给这些数字命名并用符号表示是人类特有的能力。人类数学发展史的一部分是以一种“聪明的方法”识别并命名数字。古代玛雅人用点来表示数字，有多少就点多少点。但当数量变多的时候，这种方法就不是那么好用了，因为一眼看过去你很难区分到底是6个点还是5个点。所以，有人想出了一个“聪明的方法”：在4个点之间画一条线来表示5。就像外国电影中，囚犯在监狱的墙上画线计算日子一样。[1]
1700516633
1700516634
罗马人使用了一种新的计数体系，他们赋予了数字新的名字：Ⅹ代表10，C代表100，M代表1000。古埃及人则使用新的象形文字来表示数字末尾的零：马蹄形代表10，一卷绳子代表100，一株荷花代表1000……
1700516635
1700516636
但是，这些系统很快就失效了，因为我们使用的数字进入了数百万甚至数十亿的级别。每个新的巨大的数字都需要新的符号来表示。
1700516637
1700516638
玛雅人进行着复杂的天文学研究，他们需要大量的数字来记录大量的数据。他们想出了一个聪明的办法来解决罗马数字表达的问题，这就是我们今天用来记录巨大数字的系统。在我们的十进制系统中，数字的表达对应的是10的不同次方（幂）。以123为例，它表示有3个单元，1个100（102 ）和2个10（101 ）。不超过10的计数没有什么特别之处，我们可以用我们的手指计数到10。事实上，玛雅人使用的是二十进制，数字的表达对应的是20的不同次方（幂）。比如玛雅数字中的123，表示有3个单元，分别是1个400（202 ）、2个20（201 ）和3个1（200 ）。所以，它换算到十进制中对应的数字是443。
1700516639
1700516640
玛雅人并不是第一个想出用幂来表示数字这个聪明办法的，只不过其他文明使用了十进制或其他进制，而他们使用了二十进制。4000年前，古巴比伦人提出了独特的计数体系：他们没有采用玛雅人的二十进制，也没有采用我们现在使用的十进制，而是采用了六十进制，开创了一个新的体系。60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30整除，这种高可除性使它成了这个计数体系的基础，同时有利于进行高速有效的计算。
[
上一页 ]
[ :1.700516591e+09 ]
[
下一页 ]