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天才与算法：人脑与AI的数学思维 证明的起源
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这种数学证明游戏的起源可以追溯到古希腊人，他们发现运用逻辑论证可以获得关于数字和几何颠扑不破的真理。证明是数学的本质特征，是数学家赌上自己的名誉在寻找的“圣杯”：要想赢得百万美元的奖金，你必须至少证明出“千禧年大奖难题”中的一个；要想赢得菲尔兹奖[1] ，你必须能拿出一个让数学家同行印象深刻的证明。欧几里得的《几何原本》成了后世证明的范式，也为证明制定了规则。
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欧几里得的巨大历史功绩不仅在于建立了一种几何学，更在于首创了一种科研方法。这方法所授益于后人的，甚至超过了几何学本身。欧几里得是第一个将亚里士多德用三段论形式表述的演绎法用于构建实际知识体系的人。欧几里得的几何学是一个严密的演绎体系，它从为数不多的公理出发，推导出众多的定理，再用这些定理去解决实际问题。比起欧几里得几何学中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。现在，再一次以国际象棋为例，来解释数学证明的运行方式：国际象棋的棋子在开局时的摆放位置相当于数学证明中的公理。公理是大家公认的、接受的、显而易见的关于数学和几何的事实。欧几里得的证明就是从这些公理开始。欧几里得本人对几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性，譬如：任意一点到另外任意一点可以画直线；如果A=B，B=C，那么A=C；以任意点为圆心，任意长度为半径均可以画圆；A+B=B+A。
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现在我们知道了如何摆放棋子，接下来我们该学习如何下棋了。棋子如何移动受到某些规则的限制，即这些规则决定了棋子的移动，而逻辑推理规则也允许我们根据迄今所知的事实来写下公理和真理。命题演算分离规则（modus ponens）是一种推演规则，指在命题演算和谓词演算形式的公理系统中广泛使用的推演规则，此规则的符号表示为A→B，即从A可推演出B。此规则的逻辑意义是，如果一个蕴含式及其前件均为逻辑真的，则它的后件也是逻辑真的。分离规则保持了永真性，即如果A和A→B是永真的，则B也是永真的，反之亦然。此规则的补充规则规定，A→B为真时，若B为假，则A亦为假。
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现在，让我们推理一下2的平方根无法用分数来表示。
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分数是一个整数和另一个整数的不等于整数的比，其表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。分子在上，分母在下。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两个整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。因为2的平方根是一个无理数，而分数属于有理数，所以2的平方根无法写成分数。
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对我来说，一个游戏的结构是否良好且令人满意，在于它的规则是否易于理解和实现，同时，在规则范围内该游戏能提供给人极其丰富和多样化的操作空间。“井字棋”很容易理解和上手，但它很快就会让你觉得乏味，因为它可以拓展的可能性太有限了。在国际象棋和围棋中，就不会出现这样的问题。
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玩国际象棋或围棋等游戏与玩数学证明游戏之间的一个重要区别是，数学家不必每次都把棋子归回原位：你可以从之前的任何一个时刻开始，以它为基础继续。在某种程度上，前辈数学家已经建立的和扩展出的公理大大扩展了你可以开始研究的范围，同时也为你提供了大量的可使用的招数。
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惊为天人的是，我们赋予了符号和文字以意义：在纸上一划，这就是直线；用X来表示一个计数或测量某物的数字。那么，计算机怎样知道我们在表达什么呢？最美妙的在于我们在尝试探知数字和几何是如何运行的，我们试图从宏观角度去象征性地观察整个“游戏”。事实上，如果公理为真，我们赋予任何符号任何意义，都将引发一场“游戏”（推理与证明），推理与证明会帮我们找出答案。这意味着，计算机可以在不需要真正了解符号含义的情况下进行推理与证明。19世纪数学家戴维·希尔伯特[2] （David Hilbert）这样说道：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面。”当然，他的意思不是说几何学研究桌子、椅子、啤酒杯，而是在几何学中，点、线、面的直观意义要被抛弃，人们应该研究的只是它们之间的关系，而关系由公理来体现。几何学是对空间进行逻辑分析，而不是诉诸直观。这使得计算机能够按照逻辑推理，即在没有真正了解具体状况的情况下创建数学推理。我们在后面还会了解由约翰·罗杰斯·希尔勒（John Rogers Searle）设计的思维试验——“中文房间”。这个思维试验探索了机器翻译的算法，以推翻强人工智能（机能主义）提出的过强主张，试图说明遵循规则不能显示智力和理解力水平。
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遵循数学游戏的规则，你就可以得到数学的定理。但是，这种进行数学证明的冲动是从何而来的？稍加试验就会发现，每个数字都可以写成质数相乘的乘积，而且分解这个数的方法似乎有且只有一种。例如，105=3×5×7。3、5、7都是质数，除此之外没有其他质数的组合相乘可以得到105。在验证的过程中，更多的例子可以增强你对这个发现的信心，你会希望它总是有效。事实上，经过一段时间的验证以后，你可能认为证据是压倒性的，甚至可以把它作为一个公理。
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但是，如果有一个非常非常大的数字有两种质数组合可以分解它呢？只是在这之前，你需要不断地验证，直到遇到那个非常非常大的数字。我认为这是标志数学不同于其他任何一门科学的最本质的点。若非如此，一位科学家想要说服其他科学家就不得不疲于奔命，不停地搜集数据，并依靠这些证据。但证明的存在意味着我们可以以逻辑推理的形式证明不会有任一例外的数字会打破这个理论。数学证明会告诉你为什么有且只有一种方法可以把数字分解为质数的乘积，这个证明将允许后来者直接将其作为公理来利用。
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相较于同时期的其他人，古巴比伦人对数字和几何有更科学的运算方法。他们会对数字分解成质数乘积这样的运算结果感到满意，但他们会觉得没有必要拿出一个无懈可击的论证来解释为什么这一定是永真的。直到古希腊人发明了一种新的体系，把数学作为一门独立的学科，才让我们得以建立真理。
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那么，这种证明的冲动是从哪里来的？它很有可能是社会演变的副产品，从权力集中的古埃及、古巴比伦，再到民主的古希腊。在古希腊人的日常生活中，讨论民主制度、法律制度，进行政治争论是市民生活的一部分。正是在古希腊，我们看到作家开始用逻辑论证来挑战权威和约定俗成的观点。
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在这一时期出现的故事中，人类不再乐于被奥林匹斯山的诸神摆布，开始对诸神的统治提出异议和挑战。苏格拉底这样说：“未经审视的生活不值得度过。”他一直致力于论证真理与被接受的意见之间的区别。索福克勒斯[3] （Sophocles）笔下的安提戈涅向她舅舅的暴政发起了挑战。阿里斯托芬[4] （Aristophanes）在他的喜剧中讽刺了政治家的绝对权力。
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这种对权威的挑战，向民主和以法律制度为基础的社会的转变，需要人们拥有逻辑论证的技能。城邦的发展给了公民在社会中发挥作用的机会，这就使人们需要拥有新的技能来参与辩论。那时，诡辩家会到各个城市给人们上修辞课。亚里士多德将修辞学定义为“在任何情况下能抓住说服对手机会的能力”。他阐明了一个公民需要具备什么样的素质，包括运用逻辑论证的能力和根据现有事实说服群众的技巧。
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社会的这种变革激发了人们提出巧妙的数学证明形式。逻辑给了人说服别人的力量，这使用逻辑论证来表达自己说服别人与数学证明同时发端。逻辑推理是如此强大，它使我们足以获得关于数字和几何的永恒真理：你可以证明每个数字都可以被唯一的一组质数分解；你可以证明质数是无穷多的；你可以证明在圆中，以圆的直径为边所得的所有三角形都是直角三角形。
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很多时候，你会对这些真理的存在有一种预感，它们基于对数学的运用。例如，把奇数按顺序相加，得到的结果总会是某个数的平方，如1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16。但这是一个真命题吗？古希腊人并不满足于发现奇数和平方数之间这种有趣的联系，他们想用逻辑推理的新工具来证明这是一个真命题。这就是利用逻辑推理来揭示数字运作的基本公理。
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自此，人们开始了伟大的数学之旅。《几何原本》为后世2000多年的数学家提出的证明奠定了基础，这些证明解释了数字和几何的奇妙而独特的运行方式。费马证明了当N为正整数且p为质数并大于N时，N的p次方除以p所得余数是N。欧拉证明了eπi +1=0—著名的“欧拉公式”[5] 。高斯证明了每个正整数都可以分解为3个三角数（他在发现的旁边写下“Eureka”）。此外，我的同事安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理。这些突破正是数学家工作的成果。数学家不是计算器，而是证明的构建者。
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因此，本书的核心问题是：为什么计算机不能成为费马、高斯和怀尔斯一样的存在。对计算机而言，在计算方面显然没有任何人可出其右，但它构建证明的能力又如何呢？证明可以转化为一系列的符号，并为一组符号与另一组符号之间的关系设置一个规则集。正如希尔伯特所讲的，你不需要知道符号的含义就能构建数学证明。这不正是让计算机参与证明的一个完美的设想吗？
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数学家选择一个已有的数学命题，采用一种可被执行的逻辑进行运算，这时就会产生一个由新的符号序列组成的新的数学命题。这个命题可能已经在数学证明的列表中出现过了，因为我们可能通过其他的路径得到了它。但即使如此，对于数学家或计算机来说，这仍然是一种从已发现的定理中寻求新定理的有效方法。这不正是数学所追求的目标吗？数学不仅仅是不停歇的计算。如果按下计算机的“开始”按钮，它就不停地输出通过运算、逻辑推理所得到的逻辑结果，那么它会不会让数学家集体下岗呢？
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在创造新的事物方面，创造力发挥着不可替代的作用。自上而下的编程模式，将驱使计算机发现新的数学定理。对于计算机来说，关键在于所造物的价值，但这种价值从何而来？价值的导向和判断全都从人类创造和使用的数学思维中来。一个计算机的算法怎样知晓什么样的数学发现可以刺激你产生多巴胺和肾上腺素，从而让你感到兴奋呢？
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对我这样的数学家来说，机器学习中出现的自下而上的新编程模式，在让我感到兴奋的同时也让我深深感受到了潜在的危机：哈萨比斯和他的同事们正在开发的算法，可以从过往的人类数学经验中学习如何区分令人激动的定理和无聊的定理，而这反过来又可能会引导机器产生一个新的价值定理。这个定理可能会让数学界震惊，就像AlphaGo在棋类游戏界产生的震撼效果一样。
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[1] 据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹（John Charles Fields）要求设立的国际性数学奖项，于1936年首次颁发，常被视为数学界的诺贝尔奖（诺贝尔奖本身未设数学奖）。菲尔兹奖每4年颁奖一次，在由国际数学联盟（IMU）主办的四年一度的国际数学家大会（ICM）上举行颁奖仪式，每次颁给2～4名有卓越贡献的年轻数学家。获奖者必须在该年元旦前未满40岁，每人将得到15 000加拿大元的奖金和金质奖章一枚。——译者注
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[2] 1862—1943，德国著名数学家，被称为“数学界的无冕之王”，是天才中的天才。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末至20世纪初数学界的一面旗帜。——译者注
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[3] 雅典三大悲剧作家之一。——译者注
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