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天才与算法：人脑与AI的数学思维 [:1700514931]
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 巴别数学图书馆
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我最喜爱的短篇小说之一，阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges）创作的《巴别图书馆》可以解释上述的问题。该小说讲述的是一名图书管理员“探索”自己图书馆的故事。小说开头他这样描述自己的工作场所：“宇宙（别人管它叫图书馆）由许多六角形的回廊组成，其数目不能确定，也许是无限的……任何一个六角形回廊的上层和下层看起来都是永无止境的。”除图书馆之外，这里别无他物。它是我们自己的图书馆（我们称之为宇宙）的隐喻。这个像巨大蜂巢一样的图书馆里堆满了大小一致的书籍：每本书有410页，每页有40行，每行由80个书写符号（书写符号共25种，包括空格、句号、逗号以及22个字母）组成。
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当图书管理员翻看这些书籍时，他发现除了偶尔地会看到一些有趣的文字之外，几乎所有书籍的内容都是无序、混乱的：有一本书从头至尾全部都在重复MCV三个字母；另一本书则纯粹是完全看不懂的“字母迷宫”，唯有倒数第二页上出现一行字——“啊！时间，你的金字塔！”
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图书管理员给自己设定的目标是确定图书馆是否真的是无限大，如果不是，那么它到底是什么形状？随着故事的发展，一个假设被提出：“这个图书馆是‘完全的’……图书馆的书架上收藏着由25个书写符号构成的全部可能的组合（其数目尽管很大，但却是有限的）。换言之，就是能够用所有的语言表达出来的一切。”这个图书馆收藏着有可能被写出来的每一本书籍：托尔斯泰的《战争与和平》随处可见；达尔文的《物种起源》、托尔金的《指环王》，以及这些作品所有语言的译本；甚至本书也被放置在图书馆某个角落的书架上。（到目前为止，我的这本书才写了这么多，我多么希望能够找到它，这样就省得自己苦思冥想剩下的部分了！）
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由于所有书的页数、行数、每行的字数这些指标都是固定的，我们可以估算出图书馆的藏书总数。已知构成书籍内容的书写符号共有25种，那么第一页第一行第一个字符就有25种选择，第二个字符也有25种选择，所以前两个字符总共可构成25×25=252 种选择。依此类推，每行有80个字符，就有2580 种可能的组合方式。
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我们把问题进一步扩展，计算一下第一页可能有多少种不同的组合方式。因为每页有40行，所以就有（2580 ）40 =2580×40 种可能的组合方式。每本书有410页，进而可得（2580×40 ）410 =2580×40×410 种可能的组合方式，这就意味着图书馆的藏书总数达到了2540×80×410 本。这个数目非常巨大。给定宇宙可观测范围内的原子总数为1080 ，那么用一个原子代表一本书，即使把所有的原子都用光，也远远达不到巴别图书馆里的藏书总数。但即便如此，它依然是一个有限的数字。根据这个原理，我们可以很容易地编写出程序，让计算机在有限的时间内系统地生成所有书籍。当然，宇宙逐渐衰变成永恒的、冰冷的黑暗要经过多长的时间尚未得知，这里仅仅是从理论上加以讨论。
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当人们听说图书馆收集了所有能被写出来的书籍时，首先得到的是一种奇特的幸福感，但随之而来的是巨大的失望，因为人们意识到这个似乎包罗万象的图书馆里实际上什么都没有。托尔斯泰、达尔文、托尔金甚至我的书在出版以后会被牛津大学图书馆收藏，是因为它们被人（许多人）认为是文学世界的瑰宝，它们值得在那里被收藏。这也是巴别图书馆与牛津大学图书馆最大的不同之处。
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当我们来到数学书库，会看到那里收藏了《数学年鉴》《l’IHES数学出版物》这些伟大的期刊。那么，要具备什么条件才能成为该书库书架上的一员呢？许多人理所当然地会认为，这个书库一定期望自己能发展成为“巴别数学图书馆”，收录历年来数学家们记录的所有关于数字和几何学的新发现，例如， 是无理数、有限单群分类列表、球体体积公式、最速落径识别等。
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这其实是Mizar想要实现的：首先创建一个数学命题列表，然后用公理去证明这些命题以验证其真假。对命题的证明就是进入Mizar数据库的必要条件。换言之，对于命题的实质是什么，是否有人会觉得它足够有趣，是否可以与其他数学家分享等，Mizar并不关心。它所做的是，只要是对命题的证明，就在没经过筛选的情况下收录到数据库中。换言之，它只是一个包含可以证明的一切的“巴别图书馆”。
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在我看来，这违背了数学精神。数学不仅仅是由一组我们所能发现的关于数字的真命题构成的。这可能会让大多数非数学专业人士感到震惊。数学家们像《巴别图书馆》的作者博尔赫斯一样，都是写故事的好手，只不过他们“写作”用的字符是数字和几何图形，而他们证明定理的过程就是在叙述故事和塑造角色。他们判断和选择故事是基于对故事情节产生的情绪反应。
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此处引用我的偶像之一、伟大的数学家亨利·庞加莱对数学创造做出的解释：“什么是数学创造？它并不意味着对已知的数学事实重新组合。任何人都可以做到重新组合，但这种组合的数量是无限的，并且大多数毫无价值。创造，意味着不制造无用的组合，而仅制造那些少量且有用的。创造即甄别，即选择。”数学是被创造的还是被发现的？我们之所以认为它是被创造的，归根结底是鉴别和选择。当然，创造方法其他人也可以想得到，但尽管方法很多，却不是人人都能创造出像贝多芬的《大调赋格》（Grosse Fuge）或者艾略特的《荒原》（The Waste Land）那样的伟大作品。数学中也存在着“同样的自由”，这一点可能会令绝大多数人惊讶无比。
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正如庞加莱所说，数学是一门关于鉴别和选择的学问。那么，期刊收录数学论文的标准是什么呢？为什么费马大定理的证明会被认为是20世纪最伟大的数学证明之一，而同等复杂程度的数值计算却是平庸而无趣的？“当n>2时，方程xn +yn =zn 没有整数解”的证明到底有趣在哪里？
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这就是为什么我说数学不仅是一门有用的科学，而更像是一门创造性的艺术。定理证明的叙述，是决定这个定理能否在数学的万神殿中占据一席之地的重要因素。因此，我相信一个好的证明就像一个动人的故事，抑或是一首美妙的乐曲，可以启发或引导“听众”踏上转变之旅。
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天才与算法：人脑与AI的数学思维 数学寓言
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通过讲故事的方式可以更好地解释数学证明的叙述质量这一概念。我13岁时读了哈代的《一个数学家的辩白》，这是我第一次接触数学证明。该书描写的是一名数学家的切身感受。格雷厄姆·格林（Graham Greene）认为该书对创作型艺术家的描述是继亨利·詹姆斯（Henry James）的日记以来最贴切的。
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书中提到了欧几里得发现的，极可能是数学史上最早的一个证明。如果把这个证明看作一个故事，那么故事的“主角”就是素数。素数又称质数，是一个大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。例如，3、7、13，等等。现在我们一起踏上叙事之旅，揭开关于故事主角的谜题——素数是无穷无尽的这一特性。本章开始部分已经介绍了Mizar系统对该定理的证明。现在，由我来告诉你这个故事。
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证明就像数学家的旅行游记，欧几里得通过他心灵的窗户看到了这样的景象：素数就像一座座山峰，重峦叠嶂，绵延不绝。后辈数学家们肩负的任务就是寻找一条从熟知的领域出发，通向这片未知新世界的道路。
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就像《指环王》中弗罗多从夏尔到魔多的冒险一样，证明就是对这段旅程的描述。在夏尔这片人们熟悉的土地上有数学公理（关于数学的不证自明的真理）以及那些已被证明的命题，这是任务的初始设置。从故土出发的旅程受到数学推导规则的限制，就像棋类游戏的行棋规则，这些规则确定了通过这个世界的行进路线。偶尔陷入僵局后，你需要绕道而行、侧路包抄，甚至以退为进。有时候，你需要等待新角色（如虚数、微积分）的加入才能继续前进。
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证明是一场“按图索骥”的旅程，地图上标定了穿越的路径。成功的证明是一组路标，指引所有后辈数学家走完相同的旅程。证明的读者们将通过地图所指的道路抵达遥不可及的高峰，体会到和作者一样的惊喜和感动。很多时候，证明不是寻找i和t的交点，就像故事不会呈现某角色的每个生活细节——它是对整个旅程的描述，而不是具体步骤的重现。数学家提供的论据旨在引导读者的思想。哈代将论据描述为：“为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻；讲演时用来演示的图片；激发小学生想象力的工具。”
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结尾即是故事的开始，倒叙是数学故事最特别的地方。问题在于故事情节如何设计才能从当前背景到达这一高潮。叙事之旅需要进行一些场景设置——简要的前情描述，告诉我们素数的重要特征是它们是其他数字的约数，即每个数都可以由一个或者多个素数相乘得到，例如105=3×5×7，16=2×2×2×2。
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因此，让我们开启旅程来解释为什么素数有无穷多个。用反证的方法，假设素数不是无穷的，我们可以一一列出这些剧中的“角色”。反证法是数学家工具箱中常用的叙事工具，就像《爱丽丝梦游仙境》或《绿野仙踪》一样，想象出一个完全相反的世界，并试图证明这个世界是真实的，直到故事以一个荒谬的结局告终。最终的结论说明先前的假设是错误的。
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我们假设剧中人物（素数）由2、3、5、7、11、13组成。不难看出，有人被漏掉了（例如，17是素数，但不属于剧中的人物）。将字符相乘：
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