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百面机器学习：算法工程师带你去面试 [:1700532188]
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百面机器学习：算法工程师带你去面试 01 PCA最大方差理论
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场景描述
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在机器学习领域中，我们对原始数据进行特征提取，有时会得到比较高维的特征向量。在这些向量所处的高维空间中，包含很多的冗余和噪声。我们希望通过降维的方式来寻找数据内部的特性，从而提升特征表达能力，降低训练复杂度。主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）作为降维中最经典的方法，至今已有100多年的历史，它属于一种线性、非监督、全局的降维算法，是面试中经常被问到的问题。
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知识点
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PCA，线性代数
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问题 如何定义主成分？从这种定义出发，如何设计目标函数使得降维达到提取主成分的目的？针对这个目标函数，如何对PCA问题进行求解？
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难度：★★☆☆☆
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分析与解答
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PCA旨在找到数据中的主成分，并利用这些主成分表征原始数据，从而达到降维的目的。举一个简单的例子，在三维空间中有一系列数据点，这些点分布在一个过原点的平面上。如果我们用自然坐标系x,y,z三个轴来表示数据，就需要使用三个维度。而实际上，这些点只出现在一个二维平面上，如果我们通过坐标系旋转变换使得数据所在平面与x,y平面重合，那么我们就可以通过x′,y′两个维度表达原始数据，并且没有任何损失，这样就完成了数据的降维。而x′,y′两个轴所包含的信息就是我们要找到的主成分。
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但在高维空间中，我们往往不能像刚才这样直观地想象出数据的分布形式，也就更难精确地找到主成分对应的轴是哪些。不妨，我们先从最简单的二维数据来看看PCA究竟是如何工作的，如图4.1所示。
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（a）二维空间中经过中心化的一组数据
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（b）该组数据的主成分
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图4.1 二维空间数据主成分的直观可视化
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图4.1（a）是二维空间中经过中心化的一组数据，我们很容易看出主成分所在的轴（以下称为主轴）的大致方向，即图4.1（b）中黄线所处的轴。因为在黄线所处的轴上，数据分布得更为分散，这也意味着数据在这个方向上方差更大。在信号处理领域，我们认为信号具有较大方差，噪声具有较小方差，信号与噪声之比称为信噪比。信噪比越大意味着数据的质量越好，反之，信噪比越小意味着数据的质量越差。由此我们不难引出PCA的目标，即最大化投影方差，也就是让数据在主轴上投影的方差最大。
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对于给定的一组数据点 ，其中所有向量均为列向量，中心化后的表示为=，其中。我们知道，向量内积在几何上表示为第一个向量投影到第二个向量上的长度，因此向量xi在ω（单位方向向量）上的投影坐标可以表示为。所以目标是找到一个投影方向ω，使得在ω上的投影方差尽可能大。易知，投影之后均值为0（因为 ，这也是我们进行中心化的意义），因此投影后的方差可以表示为
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