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量子宇宙 回到海森伯不确定性原理
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那么,这就是引入普朗克常数的历史。但是在我们的目标中,最值得关注的东西,是普朗克常数具有“作用量”的单位;换句话说,它和告诉我们钟要转动多少的量,是同一种东西。它的当代数值是6.6260695729×10-34kg·m2/s,用日常标准来衡量是极小的。这就是我们没有在日常生活中感受到它无处不在效果的原因。
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回忆一下前文中,当粒子从一处跃至他处,对应的作用量就是粒子的质量乘以跳跃距离的平方,再除以跳跃发生的时间间隔。这个结果以kg·m2/s单位度量,和普朗克常数一样,所以如果简单将作用量除以普朗克常数,就能抵消所有的单位,得到一个纯数。按照费曼的方法,这个纯数就是我们在考虑粒子从一处跃至他处的情形中,与之关联的钟要转动的角度。例如,如果这个数是1,就是说转动1整圈;如果是1/2,则转动1/2圈,以此类推。用符号表示,在粒子于t时间内跳过x距离的情形中,钟指针转过的精确圈数是。注意因子1/2出现在了公式中。你既可以认为需要这个因子是为了符合实验,也可以注意到它来自作用量的定义[107]。两者都行。现在我们知道了普朗克常数的数值,就可以真正量化转过的圈数,并且解决前面留下的问题。就是说,跳过“10”单位距离到底是什么意思?
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让我们看看,用这个理论处理日常标准中的小物体——一粒沙子,会得到什么。我们发展出的量子力学理论表明,如果把沙粒放在某处,则在之后某时刻,它可以位于宇宙中的任意位置。但这显然不会发生在一粒真实的沙子上。我们已经瞥见了解决这个潜在问题的方法,因为如果钟之间有足够的干涉,对应沙粒从多个不同的初始位置开始跳跃,则它们会互相抵消,使沙子保持静止。我们需要回答的第一个问题是,如果我们把质量等于一粒沙的粒子,在一秒时间内,搬运0.001毫米,钟会转过多少圈?我们不能够用肉眼看到这么小的距离,但对于原子尺度来说它还是相当大的。你可以很容易地将这些数代入费曼的旋转法则中,并算出结果[108]。答案是钟大约得转动一亿年。想象一下这么多圈能产生多少干涉。最终结果是,沙粒留在原处,并且它跳到可辨远处的概率几乎没有,尽管我们真得考虑这粒沙子曾暗中跃至宇宙各处的可能性,这才得到了那个结果。
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这个结果十分重要。如果你自己代入数据做计算,就会意识到事情的原因:普朗克常数极小。写出完整形式,它的值是0.00000000000000000000000000000000066260695729kg·m2/s。用任何日常的数除以它,都会得到很大的转动圈数以及很多干涉相消。结果就是,沙粒横跨宇宙的诸次异域之旅完全互相抵消,而在我们的感知中,这位穿越寰宇的旅行者只不过是一粒无趣的沙尘,纹丝不动地躺在沙滩上。
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我们特别感兴趣的当然是,钟没有互相抵消的情形。我们已经看到,如果钟的转动不超过一圈,就会发生这样的情形。这种情形下,“量子干涉的狂欢”就不会发生。下面来看看这在定量上意味着什么。
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图4.4:现在我们不取定钟群大小、或者到X点的距离的数值,其余和图4.3一样。
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我们回到图4.4中画出的钟群,但是这次的分析会更抽象,而不是使用具体的数。我们假设,钟群的大小等于Δx,而X到钟群中最近位置的距离是x。在此情形中,钟群大小Δx对应我们对粒子初始位置认识的不确定性;它从一个大小为Δx的区域出发。我们从点1也就是钟群中离X最近的位置开始,从这个点跃至X,对应的钟的旋转量为
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现在我们来考虑最远的点3。把钟从那里移动到X,它会转过更多的量,即:
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现在我们可以精确地阐述,钟从钟群中所有点传播到X,并且不抵消的条件:分别从钟1和钟3出发的钟,转动圈数之差应不小于一整圈,即:
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W3-W1<一圈
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完整写下来就是:
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我们现在将考虑特殊情况,其中钟群的大小Δx远小于距离x。这就是说,我们希望粒子跃到远离其初始领域的地方。在这种情形中,从上一个式子中直接推出的钟不完全抵消的条件是:
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如果你懂一点数学,就能由打开括号项并忽略掉包含(Δx)2的所有项,得到这个结果。这是一个有效的近似,因为之前说过Δx和x相比非常小,而小量的平方是小上加小。
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这个式子就是在X处钟不完全抵消的条件。我们知道,如果在某处,钟不完全抵消,则很有可能会在那里找到粒子。因此我们发现,如果粒子在起初位于大小为Δx的钟群中,只要满足上述方程,则在t时间后,在与钟群相距x的较远位置找到粒子的机会不低。此外,这个距离随时间增加,因为它在式子中要除以t。换句话说,随着时间流逝,在距离初始位置更远处找到粒子的机会增加。这看似就像是粒子正在移动。还要注意到,在很远处找到粒子的机会也会随Δx减小(即随初始位置不确定性的减小)而增加。换句话说,我们将粒子固定得愈准确,它从初始位置移开得就愈快。现在这看起来很像是海森伯的不确定性原理。
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为了最终达成联系,我们来对方程变形。请注意,对于在t时间内离开钟群到达位置X的粒子,它必须跃过距离x。如果你真的在X处测量到粒子,就会自然得出结论,粒子运动的速度是x/t。还有,要记得质量乘以粒子的速度是其动量,所以mx/t就是测得的粒子动量。现在我们可以继续简化前式,得到:
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