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混沌：开创一门新科学 [:1700954722]
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混沌：开创一门新科学 第四章 大自然的一种几何学
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但关联终究浮现出来，一个微小的关联不断扩大，好像一朵云彩在地上、在山坡上投下的影子。
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——华莱士·史蒂文斯，《混乱鉴赏家》
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多年来，一幅关于现实的图景在贝努瓦·曼德尔布罗特的脑中慢慢开始成形。1 在 1960 年，它仍还只是某个未知思想的一个模模糊糊的影子，一个影影绰绰的图像。但当他看到它时，他一眼就认了出来，而他是在亨德里克·霍撒克的办公室的黑板上看到它的。
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1曼德尔布罗特，戈莫里，沃斯，巴恩斯利，里希特，芒福德，哈伯德，施勒辛格。贝努瓦· 曼德尔布罗特的集大成之作是《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature, New York: Freeman, 1977）。他的一个访谈参见：Anthony Barcellos,“Interview of B.B. Mandelbrot,”in Mathematical People, ed. Donald J. Albers and G. L. Alexanderson (Boston: Birkhäuser, 1985). 曼德尔布罗特的两篇不那么知名但极其有趣的论文是：“On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised,”Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 16–14 August 1983, Warsaw, pp. 1661–1675; and“Towards a Second Stage of Indeterminism in Science,”preprint, IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. 对于分形的应用的综述文章已经数不胜数，但两个有用的例子是：Leonard M. Sander,“Fractal Growth Processes,”Nature 322 (1986), pp. 789–793; Richard Voss,“Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music,”in Science and Uncertainty, ed. Sara Nash (London: IBM United Kingdom, 1985).
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曼德尔布罗特是一位数学多面手，当时刚加入国际商业机器公司（以下简称 IBM）的研究中心不久，并得以在那里自由追逐兴之所至。他长久以来涉猎的一个领域是经济学，而当时他正在研究一个经济体中的收入分布问题。哈佛大学经济学教授霍撒克于是邀请他来做一个讲座。当这位年轻数学家来到经济系所在的位于哈佛园以北的、外观威严的利陶尔中心时，他吃惊地看到自己的发现已经在老人家的黑板上画成图了。2 曼德尔布罗特开了一个看似抱怨的玩笑（“我的图怎么在我的讲座之前就画出来了？”），但霍撒克当时并不明白他在讲什么。那个图与收入分布根本毫无关系，它表示的是棉花价格在八年里的波动。
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2霍撒克，曼德尔布罗特。
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在霍撒克看来，这个图也确实有点儿奇怪。当时的经济学家一般假设，像棉花这样的商品的价格是随着两个不同的节拍起舞的，一个有序，而另一个随机。长期而言，棉花价格会受到现实的经济力量的稳步驱动——新英格兰地区棉纺织业的景气状况，或者国际贸易路线的开辟，诸如此类。短期而言，棉花价格则会或多或少随机起伏。不幸的是，霍撒克的数据并不符合他的预期。图中的大起伏太多了。当然，大多数价格变动是小变动，但小变动与大变动的比率并不如预期的那样高。概率分布在右边下降得不够快。它有一条长尾巴。
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为变量的概率分布建模的标准模型当时是（并且现在也仍是）钟形曲线。在中间，即钟的隆起部分，大部分数据聚集在平均值附近。在左右两边，极端值的比率快速下降。钟形曲线之于统计学家，就如同听诊器之于内科医生，都是他们的首选工具。它表示的是所谓的高斯分布，或者简单来说，“正常”（正态）分布。它实际上对随机性的性质下了一个论断，认为不管事物怎样变化，它们都试图停留在一个平均值附近，并且能够做到以一种相当平滑的方式散布在这个平均值左右。但作为一种寻找穿越数学荒原的道路的手段，这样的标准模型并无法令人满意。正如诺贝尔经济学奖获得者瓦西里·列昂季耶夫所说的：“没有哪个经验研究的领域如此大量且复杂地使用了一种统计工具，却取得了如此不痛不痒的结果。”3
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3Quoted in Fractal Geometry, p. 423.
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不论霍撒克怎样为数据作图，他都无法让棉花价格的变动契合钟形曲线。但这确实生成了一个图像，而曼德尔布罗特也开始在其他一些风马牛不相及的地方注意到其模样。不像大多数数学家，曼德尔布罗特是基于自己对于模式和形状的直觉来处理问题的。他不信任分析，但他信任自己的心理图景。并且他已经意识到，有其他定律支配着随机现象。他将记录着棉花价格数据的一箱穿孔卡片带回了位于纽约州约克敦海茨、坐落在韦斯特彻斯特县北部丘陵之间的 IBM 研究中心，并在那里的计算中心运行程序分析这些数据。后来他又从华盛顿的美国农业部取得了更多数据，它们最早可追溯至 1900 年。
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就像其他领域的科学家，经济学家也正在跨越门槛，迈入计算机时代，正在慢慢意识到自己将拥有力量，能在之前不可想象的规模上收集、整理和操作信息。不过，并不是所有类型的信息都可获得，并且那些可被搜集到的信息仍然需要被转换成某种可加利用的形式。穿孔卡片时代因而也只是一个开始。在硬科学中，研究者搜集成千上万或上百万的信息还是比较容易的。但经济学家，就像生物学家，面对的是一个由众多执拗的生物构成的世界。并且经济学家研究的是它们当中最难以琢磨的。
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©W. J. Youden
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钟形曲线
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随机误差的正态分布定律堪称人类对于自然界的最宽泛的概括之一。它在自然和社会科学中，在医学、农业和工程学中都发挥着指导作用，是分析与诠释观察和实验数据的必不可少的工具。
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但至少经济学家的世界在源源不断地生成数据。在曼德尔布罗特看来，棉花价格是一个理想的数据源。这些记录完整且长期，最早可追溯至一个世纪以前甚或更早。棉花的交易是一个中心化的市场（因而有着中心化的交易记录），因为在 19 世纪与 20 世纪之交时，美国南方的所有棉花都要经由纽约棉花交易所流向新英格兰地区，并且英国利物浦的棉花价格也与纽约价格相联动。
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尽管当时的经济学家在分析商品价格或股票价格时可用的信息很少，但这并不意味着他们缺少对于价格是如何变动的一个基本观点。恰恰相反，他们共享一些特定信念。其中之一便是，他们相信小的、短期的变动与大的、长期的变动是两回事。快速的短期波动是随机的。在一个交易日里发生的小起伏只不过是噪声，不可预测，也不有趣。然而，长期变动是完全另一回事。价格在几个月、几年或几十年里的大巨变是由深层次的宏观经济力量，由战争或经济衰退的趋势，由在理论上可加以解释的力量决定的。因此，一边是短期波动的噪声，另一边则是长期变动的信号。
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但事实上，在曼德尔布罗特正在形成的关于现实的图景中，并没有这样的二分法的一席之地。他的图景并没有将小的变动与大的变动分割开来，反而是将它们结合在一起。他正在寻觅的不是在这个或那个尺度上的模式，而是在所有尺度上的模式。当时他还不清楚该如何描绘他所设想的图景，但他知道，它将必须具有某种对称性，不是一种左右对称性或上下对称性，而是一种大小尺度上的对称性。
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确实，在曼德尔布罗特利用 IBM 的计算机检视过棉花价格数据后，他找到了他所寻觅的惊人结果。那些从正态分布的角度来看是偏离正常的数据，从标度（scaling）的角度来看则具有对称性。4 每种特定价格变动是随机的，是不可预测的。但由这些变动构成的序列是与尺度（scale）无关的：每日价格变动的曲线与月度价格变动的曲线完美匹配。简直不可思议，从这个角度分析数据，他发现其变异度在长达六十年的时间里保持不变，更别说在这期间时局动荡，见证了两次世界大战和一次大萧条。
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4鉴于缺乏更贴切的译法，也为了与常见说法相一致，这里采用“标度”来对译“scaling”，以与“尺度”（scale）相区分。或许透过英文更容易理解，后者是名词，是静态的；而前者是动词，是动态的，是存在于不同尺度之间的现象、模式和规律。——译者注
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在最无序的数据当中竟然存在一种出人意料的秩序。考虑到他所检视的数据的任意性，曼德尔布罗特不禁好奇，为什么竟会有定律统括它们？又为什么它同时适用于个人收入和棉花价格？
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实际上，曼德尔布罗特与经济学家沟通的能力跟他的经济学背景一样存在不足。当他撰文发表自己的发现时，他的文章前面特意配了一篇由他的学生撰写的解释文章，将曼德尔布罗特的内容以经济学家能够理解的文字重述了一遍。曼德尔布罗特随后转向了其他兴趣点。但他对于探索标度现象的决心日益增长，它似乎是一样有着自己生命的东西——一个挥之不去的印记。
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在多年以后的一次讲座上，当主持人介绍完他后（“……在哈佛大学教授经济学，在耶鲁大学教授工程学，在爱因斯坦医学院教授生理学……”），他不无自豪地开玩笑道：“常常，当我听到罗列我之前的工作时，我不免会怀疑自己是否存在。这些集合之间无疑没有交集。”5 确实，从他早年在 IBM 工作时起，曼德尔布罗特在一长串不同的研究领域中都未能确立存在感。他始终是一个局外人，采取一些非正统的方法去探索一些非热门的数学角落，闯入一些他很少受到欢迎的学科，隐藏起他的宏大思想以便使论文得到发表，并主要靠着他在约克敦海茨的上司们对他的信心才保住工作。他乘兴而来，涉足像经济学这样的领域，然后兴尽而返，留下许多吸引人的思想，却少有扎实的系统性工作。
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