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混沌：开创一门新科学 [:1700954726]
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混沌：开创一门新科学 第八章 混沌的图像
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痛苦。整个场景充满痛苦，没有别的，只有痛苦。在混沌向内收敛所有力量，以期形成一片树叶的时候，还能有别的吗？
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——康拉德·艾肯，《房间》
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迈克尔·巴恩斯利在 1979 年法国科西嘉岛的一次学术会议上见到了米切尔·费根鲍姆。1 这也是巴恩斯利，这位出身于牛津大学的数学家，首次了解到普适性、倍周期分岔以及分岔的无穷级联。真是个不错的想法，他心想，这无疑会引得科学家竞相试图从中分一杯羹。那么他呢？巴恩斯利认为自己看到了之前没有人注意到过的一个切入点。
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1巴恩斯利。
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这些周期 2、4、8、16，即这些费根鲍姆序列，从何而来？它们是凭空出现，从某种数学虚无中神奇地蹦出来的吗？又或者它们其实只是某种更深层次的东西的影子？巴恩斯利的直觉是，它们必定是某种远在视野之外的、奇妙的分形现象的一部分。
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对于自己的这个想法，他有一个语境，那就是一个称为复平面的数值世界。在复平面上，从负无穷到正无穷的所有数（也就是说，所有实数）落在一条东西向的直线上，中间则是零点。但这条直线只是这个世界的“赤道”，因为世界还在南北向上无限延伸。因此，每个数其实由两个部分构成，实部对应于东西向的经度，虚部对应于南北向的纬度。这些所谓的复数通常写成这样的形式：2 + 3i，其中符号 i 标记了虚部。这两个部分给出了每个数在这个二维平面上的唯一地址。原本的实数直线于是成了复数的一个特殊情况，也就是说，这些数的虚部为零。在复平面上，只看实数（只看赤道上的那些点）会让人将视野局限于一些形状与这条直线可能有的交点上，但这些形状，如果被放在二维平面上看，可能会透露出其他更多秘密。巴恩斯利进行了这样的大胆假设。
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“实”和“虚”的名字源自过去那个普通的数确实看上去要比这种新的“复合”之数更真实的时代，但到现如今，这些名称已经被视为不过是相当武断的说法，这两种数其实跟其他数学对象一样真实，也一样虚构。从历史上看，虚数的发明是为了填充这样一个问题所留下的概念空白：负数的平方根是什么？根据约定，-1 的平方根是 i，-4 的平方根是 2i，如此等等。人们很快意识到，实数和虚数的复合体也可以进行各种多项式运算。复数可以进行加法、乘法、求平均值、因数分解、求积分。事实上，任何可以在实数上进行的运算也可以在复数上加以尝试。当巴恩斯利开始将复数值代入费根鲍姆的方程，将它移植到复平面上时，他看到一类奇妙的形状的轮廓浮现了出来，它们看上去跟实验科学家所着迷的动力学理论有关系，但也带有数学构造的鲜明痕迹。
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他意识到，倍周期分岔中的这些周期根本不是凭空出现的。它们被铺开在复平面上，不同的周期大小错落。总有一个周期 2、一个周期 4、一个周期 8 等处在视野之外，直到它们与实数直线相交。巴恩斯利匆忙从科西嘉岛赶回自己位于美国佐治亚理工学院的办公室，然后写作了一篇论文。他将这篇论文投给《数学物理学通讯》发表。该期刊的编辑碰巧是达维德·吕埃勒，而吕埃勒告诉了他一个坏消息。巴恩斯利无意中重新发现了一位法国数学家在五十多年前所做的一项工作。“吕埃勒把论文退了回来，就仿佛它是一块烫手山芋，并说道：‘迈克尔，你是在讨论朱利亚集合。’”巴恩斯利后来回忆道。2
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2巴恩斯利。
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吕埃勒还给了一个建议：“去找一下曼德尔布罗特吧。”
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三年前，约翰·哈伯德，这位喜欢穿着花哨 T 恤的美国数学家正在位于巴黎西南奥尔赛的巴黎大学教授大一新生初等微积分。3 其中他会讲到的一个常规话题是牛顿法，一种通过渐次做出更好的近似来求解方程的经典方法。然而，哈伯德对于常规话题已经有点儿厌倦了，所以他决定这次尝试以一种会迫使学生进行思考的方式教授牛顿法。
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3哈伯德；also Adrien Douady,“Julia Sets and the Mandelbrot Set,”in The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems, eds. H. - O. Peitgen and P. H. Richter (Berlin: Springer, 1986), pp. 161–174. 这本《分形之美》也给出了对于牛顿法以及我们这一章讨论到的复杂动力学的其他交叉领域的一个数学概述。
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牛顿法由来已久，甚至在牛顿发明它之前就古已有之。古希腊人便使用过它的一个版本来寻找平方根。这种方法先从一个猜测开始。初始猜测引出一个更好的猜测，然后这个迭代过程不断重复，逐渐逼近一个答案，就像一个动力系统不断趋向其定态。这个过程收敛得很快，一般可以使得小数点后的精确位数每一步翻一倍。当然，现如今，求平方根可以用到更多数值分析方法，求二次方程（未知数的最高次数是二次的多项式方程）的所有根也是如此。但牛顿法也适用于更高次数的、无法直接求解的多项式方程。这种方法还被广泛用于各种计算机算法，毕竟迭代向来是计算机的强项。牛顿法的一个小小棘手之处在于，方程通常拥有不止一个解，尤其是需要考虑到复数解时，而这种方法会找到哪个解取决于初始猜测。在实践中，学生们发现这根本不成问题。你对于应该从何处开始一般有着很好的估计，而即便你的猜测看上去要收敛到一个错误的解，你也大可换个地方重新开始。
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他们可能会好奇，牛顿法到底是以怎样一种方式逼近一个二次方程在复平面上的一个根的？从几何角度思考，一个可能的回答是，这种方法单纯只是找到两个根中更靠近初始猜测的那一个。这也是哈伯德一天在被问及这个问题时告诉他的学生的。
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“至于比如三次方程，情况看上去要更为复杂，”哈伯德自信满满地说道，“我回去想一下，下周再告诉你们。”4
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4“Julia Sets and the Mandelbrot Set,”p. 170.
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他仍然设想，这时的困难之处会是教授他的学生如何计算迭代，而做出初始猜测则会是容易的。5 但他对此思考得越多，他发现自己了解得越少——对于什么才算一个聪明的猜测，或者更进一步地，对于牛顿法究竟是怎样运作的。那个显而易见的几何化猜想会将复平面平分成三个扇形，每个扇形包含一个根，但哈伯德发现情况并没有这样简单。奇怪的事情发生在靠近边界的地方。此外，哈伯德还发现自己并不是第一位邂逅这个出人意料困难的问题的数学家。阿瑟·凯莱曾在 1879 年尝试将容易处理的二次方程情况扩展到极难解决的三次方程情况。不过，在一个世纪后，哈伯德手头拥有了凯莱当时所没有的一件工具。
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5哈伯德。
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哈伯德属于这样一类数学家，他们鄙弃猜测、近似、基于直觉而非证明的半吊子真理。他也属于这样一批数学家，他们会在爱德华·洛伦茨的吸引子见诸科学文献的二十多年后仍然坚持认为，没有人知道这些方程是否真的会生成这样一个吸引子。它还是一个未经证明的猜想。他会说，大家熟悉的双螺旋并不是证明，而不过是证据，只是计算机画出来的某种东西。
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尽管如此，他现在还是开始试着利用计算机做些原来的正统数学方法所没有做过的事情。计算机证明不了任何东西，但至少它可能揭示出真理，使得数学家可以知道自己应该试图证明什么。所以哈伯德开始进行数值实验。他不是将牛顿法视为一种解决问题的方法，而是将它本身视为一个问题。哈伯德考虑的是一个三次方程的最简单的例子——方程 ，也就是说，求 1 的立方根。当然，在实数域，它只有一个平凡解：1。但这个多项式方程还有两个复数解： 和 。画在复平面上，这三个根构成了一个等边三角形，其中一个点位于三点钟方向，一个点位于七点钟方向，另一个点位于十一点钟方向。现在的问题是，给定任意一个复数作为起始点，看看牛顿法最终会得出这三个解中的哪一个。这就好像牛顿法是一个动力系统，而三个解是三个吸引子；又或者说，这就好像复平面是平滑过渡到三个深谷的一个表面。一颗玻璃球，不论被放在表面上的哪一点，都应该滚进这三个谷地中的一个——但具体是哪一个呢？
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哈伯德开始从构成复平面的无穷多个点中采样。他让计算机一一处理这些点，计算出在每种情况下使用牛顿法的结果，并用不同颜色对不同结果编码。最终会得出第一个解的所有起始点用蓝色标出，最终趋向第二个解的点标为红色，生成第三个解的点则标为绿色。他发现，在最粗略的近似下，牛顿法的动力学确实将整个复平面平分成了三个扇形。在一般情况下，那些更靠近某个解的点很快会得出那个解。但系统的计算机探索这时也揭示出了一些更为复杂的行为，而它们是先前那些只能这里计算一个点、那里计算一个点的数学家从未见过的。尽管有些初始猜测很快收敛到一个根，但有些点在最终收敛到一个解之前要先看似随机地跳来跳去一番。有时候，似乎一个点可以落入一个永远不断重复自己的循环（一个周期性循环）当中，而不会趋向三个解中的任何一个。
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随着哈伯德驱使他的计算机去探索越来越精细的细节，从中开始浮现出来的图案让他和他的学生深感困惑。比如，在蓝色与红色谷地之间，他看到的不是一条泾渭分明的分水岭，而是一些绿色的斑块，犹如一串宝石点缀其间。这就好像一颗玻璃球，在相邻两个谷地争夺不下的时候，却最终落入了最遥远的第三个谷地。在两种颜色之间终究无法充分形成一条边界。6 在进一步放大检视下，一个绿色斑块与蓝色谷地之间的曲线被证明也具有红色的斑块，如此等等。这里的边界最终向哈伯德揭示出了一个奇特性质，让即便看惯了曼德尔布罗特的怪异的分形图案的人也不免感到疑惑：没有一个点是仅两种颜色之间的一个边界。只要两种颜色试图走到一起，第三种颜色就会介入，将一系列新的、自相似的成分插入其间。不可思议的是，每个边界点都邻接所有三种颜色的各一个区域。
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