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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958618]
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Part. 3
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好了各位同学，我们又见面了。上次我们布置了一道练习题，不知大家有没有按时完成作业呢？不管怎样都好，现在我们一起来把它的答案求解出来。
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出于寓教于乐的目的，我们还是承接上一节，用比喻的方式来解答这个问题。大家还记得每张表格代表了一种海森堡式的车费表，那么现在我们的Ⅰ和Ⅱ就分别成了两条路线的旅游巴士，在两个城市之间来往，只不过收费有所不同而已。我们把它们称为巴士Ⅰ号线和巴士Ⅱ号线。为了再形象化一点，我们假设这两个城市是隔着罗湖桥毗邻的深圳和香港。
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这样的话，我们的表格就有了具体的现实意义。如前面已经说明的那样，表的横坐标是出发站，纵坐标是终点站。所以对于巴士Ⅰ号线来说，在深圳市内游玩需要1块钱车费，从深圳出发到香港则要7块钱。反过来，从香港出发回深圳要8块钱，而在香港市内观光则需3块钱(2) 。Ⅱ号表格里的数字与此类似。
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好吧，到目前为止一切都不错，可是，这到底有什么意思呢？Ⅰ×Ⅱ到底是多少呢？这种运算代表什么意义呢？和我们的巴士旅游线又有什么关系呢？暂且不急，让我们一步一步地来解决这个问题。
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车费表的乘法
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首先要把握大方向。Ⅰ是一个2×2的表格，Ⅱ也是一个2×2的表格。那么，我们有理由去猜测它们的乘积应该也是一个2×2的表格。
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位于左上角的a是多少呢？是不是简单地把Ⅰ号表左上角的1乘以Ⅱ号表左上角的2，1×2＝2就行了呢？我们要时时牢记车费表的现实意义：左上角代表了从深圳出发，还在深圳下车的总车费。1×2的确符合要求：先乘Ⅰ号线在深圳游玩一阵，随后原地下车再搭Ⅱ号线再次市内游！总的路线是：深圳→深圳→深圳。起点和终点都在深圳，坐标在左上角，没错！
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但是，我们忽略了另一条路线！左上角的a要求从深圳出发，最后在深圳下车，却没有规定整个过程全都在深圳市内！实际上，很容易想象另一条路线：深圳→香港→深圳，它依然符合起点和终点都在深圳的要求。这样一来，我们必须先搭Ⅰ号线去香港（收费7元），在香港转搭Ⅱ号线回深圳（收费6元），它们的乘积是7×6＝42！
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a最终的数值，应该是所有可能路线的叠加（深圳→？→深圳）。在本例中，只有上述两条路线，没有第三种可能了。所以a＝1×2＋7×6＝44。
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很奇妙，是不是？我们再来看右上角的b。从深圳出发到香港下车，同样也有两种可能的路线：深圳→深圳→香港，或者深圳→香港→香港。要么先乘Ⅰ号线在深圳市内游再搭Ⅱ号线到香港（1×5），要么先乘Ⅰ号线到香港然后转Ⅱ号线在香港市内游（7×4）。所以综合来说，b＝1×5＋7×4＝33。
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大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝8×2＋3×6＝34，d＝8×5＋3×4＝52。所以：
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很抱歉，我们处在一个非常奇幻的世界里，虽然只是小学水平的数字运算，可能也已经让有些人痛苦不堪。不过大家必须承认，我们的确学到了一些新的事物，如果你觉得这种乘法十分陌生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍Ⅱ×Ⅰ：
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我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什么，现在我们是先搭乘Ⅱ号线，然后转Ⅰ号线了。我们可以先搭Ⅱ号线在深圳市内转搭Ⅰ号线再次市内游（深圳→深圳→深圳），对应的是2×1。另外，还有一条路线：深圳→香港→深圳，所以是先搭Ⅱ号线去香港，在那里转搭Ⅰ号线回深圳，所以是5×8＝40。所以总的来说，a＝2×1＋5×8＝42。
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喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝42，不过我还记得，刚才我们的答案说a＝44。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家都没有抄笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝1×2＋7×6＝44。看来是我算错了，我们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表在深圳上车在深圳下车。所以两种可能的情况是：深圳→深圳→深圳，Ⅱ号线市内游收2块钱，Ⅰ号线1块钱，所以2×1＝2。另外还有深圳→香港→深圳的路线。Ⅱ号线由深圳去香港5块钱，Ⅰ号线由香港回深圳8块钱，所以5×8＝40。加在一起：2＋40＝42！
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嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝2＋42＝44。那么，那么……谁错了？哈哈，难道是海森堡错了？他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：Ⅰ×Ⅱ ≠ Ⅱ×Ⅰ。