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力学(物理类) 7.6 一维线性波动方程
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7.6.1 波动方程
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波的形成有其动力学原因,分析介质的动力学结构,可导出波的动力学方程,简称波动方程.波动方程是振动量关于空间和时间函数的微分方程,它的数学解即为波的运动方程.前面已给出了波的运动方程,通过对空间、时间求导,也可得到波动方程.例如将平面简谐波分别求二阶偏导,得
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联立后所得微分方程
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便是x方向传播的波动方程.方程是线性的,故称为一维线性波动方程.
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下面将通过几个实例,从动力学方面导出具有(7.95)形式的若干波动方程.
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一、弹性介质中的纵波和横波
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横截面积为S的柱形固态介质,取长dx小段,受拉力F作用,有图7-76所示的伸长量dξ.在F的某一取值范围内,若恒有
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图 7-76
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那么在此范围内可称介质是弹性的.如果是压力,取F<0,对应地有dξ<0,在弹性范围内上式仍然适用.引入杨氏模量(弹性模量)
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E处处相同时,称为均匀弹性介质.取长L的一段均匀弹性介质,在拉力F作用下,总伸长量若为∆l,则有,即得
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这正是胡克定律,其中k是此段弹性介质的劲度系数.
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对图7-77中的小段弹性介质两侧施加切向作用力T后,产生图示的横向位移dz,在
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