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力学（物理类） [:1700973485]
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力学（物理类） 7.6 一维线性波动方程
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7.6.1 波动方程
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波的形成有其动力学原因，分析介质的动力学结构，可导出波的动力学方程，简称波动方程．波动方程是振动量关于空间和时间函数的微分方程，它的数学解即为波的运动方程．前面已给出了波的运动方程，通过对空间、时间求导，也可得到波动方程．例如将平面简谐波分别求二阶偏导，得
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联立后所得微分方程
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便是x方向传播的波动方程．方程是线性的，故称为一维线性波动方程．
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下面将通过几个实例，从动力学方面导出具有（7.95）形式的若干波动方程．
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一、弹性介质中的纵波和横波
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横截面积为S的柱形固态介质，取长dx小段，受拉力F作用，有图7-76所示的伸长量dξ．在F的某一取值范围内，若恒有
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图 7-76
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那么在此范围内可称介质是弹性的．如果是压力，取F＜0，对应地有dξ＜0，在弹性范围内上式仍然适用．引入杨氏模量（弹性模量）
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E处处相同时，称为均匀弹性介质．取长L的一段均匀弹性介质，在拉力F作用下，总伸长量若为∆l，则有，即得
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这正是胡克定律，其中k是此段弹性介质的劲度系数．
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对图7-77中的小段弹性介质两侧施加切向作用力T后，产生图示的横向位移dz，在
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