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12堂魔力数学课 又快又准的心算法
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看着数字的这些规律,有人禁不住会问:“这些规律确实很有意思,但是它们有什么用处呢?”对于这样的问题,任何艺术家都会嗤之以鼻,因为在他们眼中,这些优美的规律本身就是一种美!大多数数学家也会有同样的反应。而且,对这些规律的理解越深入,就越能体会其中蕴藏的美。有的规律不仅优美,还可以用来解决某些实际问题。
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下面以一个我年轻时发现的简单规律为例。这个发现让我非常开心,尽管我并不是发现这个规律的第一人。当时,我正在求解和为20的两个数字(例如10和10,9和11)的最大乘积。我发现,当这两个数字都是10时,它们的乘积可能是最大的。结果,下图揭示的规律证实了我的猜想。
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和为20的两个数字的乘积
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这个规律没有任何错误。随着两个数字之间的差不断增大,它们的乘积却越来越小。这些乘积与100的差是多少呢?答案是1、4、9、16、25,也就是12、22、32、42、52,以此类推。这个规律是不是始终有效呢?我决定验证一下和为26的两个数字是否也符合这个规律。
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和为26的两个数字的乘积
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同样,当这两个数字相等时,它们的乘积最大,而且这些乘积与169的差依次为1、4、9,等等。在验证了几次之后,我确信这个规律是正确的。(我会在下文中用代数方法证明它。)然后我发现,我可以用这个规律快速地完成平方运算。
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假设要计算13的平方数。我们无须直接计算13 × 13,而可以进行更简单的计算:10×16 = 160。这个得数与正确答案已经非常接近了。由于这两个因数与13分别相差3,因此还需要在它们乘积的基础上加上32。即
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132=(10×16) + 32= 160 + 9 = 169
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再试一次,利用这个方法计算98 × 98。一个因数加上2等于100,另一个因数减去2等于96,在100×96的乘积基础上加上22。即
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982=(100×96) + 22= 9 600 + 4 = 9 604
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如果某个数的个位数是5,进行平方运算时就会特别简单,因为该数字分别加、减5之后,两个因数的个位数都是0。例如:
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352=(30×40) + 52= 1 200 + 25 = 1 225
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552=(50×60) + 52= 3 000 + 25 = 3 025
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852=(80×90) + 52= 7 200 + 25 = 7 225
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现在,试试看如何计算592。因数59分别加、减1之后,算式就变为:592= (60 × 58) + 12。但是,60 × 58怎么心算呢?答案是:由左至右。先忽略60后面的那个0,用从左至右的方法计算6 × 58:6 × 50 = 300,6 × 8 = 48。然后,把这两个数字(从左至右)相加,得到348。因此,60 × 58 = 3 480。那么
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592=(60×58) + 12= 3 480 + 1 = 3 481
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延伸阅读
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下面,我们通过代数运算来解释其中的道理。(在你读完第2章关于平方差的内容之后,再回过头来看这部分内容,效果可能会更好。)
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A2= (A+d) (A–d) +d2
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其中A是平方运算的底数,d是A与离其最近的简便数字的差(当然,d取任意值时,上述公式都成立)。例如,计算59的平方数时,A= 59,d= 1。根据公式,计算(59 + 1)×(59–1) + 12就可以得出答案。
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在你对两位数的平方运算感到得心应手之后,还可以利用这个方法完成三位数的平方运算。例如,如果我们知道122= 144,那么
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