1700993963
12堂魔力数学课 [:1700993713]
1700993964
12堂魔力数学课 又快又准的心算法
1700993965
1700993966
看着数字的这些规律，有人禁不住会问：“这些规律确实很有意思，但是它们有什么用处呢？”对于这样的问题，任何艺术家都会嗤之以鼻，因为在他们眼中，这些优美的规律本身就是一种美！大多数数学家也会有同样的反应。而且，对这些规律的理解越深入，就越能体会其中蕴藏的美。有的规律不仅优美，还可以用来解决某些实际问题。
1700993967
1700993968
下面以一个我年轻时发现的简单规律为例。这个发现让我非常开心，尽管我并不是发现这个规律的第一人。当时，我正在求解和为20的两个数字（例如10和10，9和11）的最大乘积。我发现，当这两个数字都是10时，它们的乘积可能是最大的。结果，下图揭示的规律证实了我的猜想。
1700993969
1700993970
1700993971
1700993972
1700993973
和为20的两个数字的乘积
1700993974
1700993975
这个规律没有任何错误。随着两个数字之间的差不断增大，它们的乘积却越来越小。这些乘积与100的差是多少呢？答案是1、4、9、16、25，也就是12、22、32、42、52，以此类推。这个规律是不是始终有效呢？我决定验证一下和为26的两个数字是否也符合这个规律。
1700993976
1700993977
1700993978
1700993979
1700993980
和为26的两个数字的乘积
1700993981
1700993982
同样，当这两个数字相等时，它们的乘积最大，而且这些乘积与169的差依次为1、4、9，等等。在验证了几次之后，我确信这个规律是正确的。（我会在下文中用代数方法证明它。）然后我发现，我可以用这个规律快速地完成平方运算。
1700993983
1700993984
假设要计算13的平方数。我们无须直接计算13 × 13，而可以进行更简单的计算：10×16 = 160。这个得数与正确答案已经非常接近了。由于这两个因数与13分别相差3，因此还需要在它们乘积的基础上加上32。即
1700993985
1700993986
132=(10×16) + 32= 160 + 9 = 169
1700993987
1700993988
再试一次，利用这个方法计算98 × 98。一个因数加上2等于100，另一个因数减去2等于96，在100×96的乘积基础上加上22。即
1700993989
1700993990
982=(100×96) + 22= 9 600 + 4 = 9 604
1700993991
1700993992
如果某个数的个位数是5，进行平方运算时就会特别简单，因为该数字分别加、减5之后，两个因数的个位数都是0。例如：
1700993993
1700993994
352=(30×40) + 52= 1 200 + 25 = 1 225
1700993995
1700993996
552=(50×60) + 52= 3 000 + 25 = 3 025
1700993997
1700993998
852=(80×90) + 52= 7 200 + 25 = 7 225
1700993999
1700994000
现在，试试看如何计算592。因数59分别加、减1之后，算式就变为：592= (60 × 58) + 12。但是，60 × 58怎么心算呢？答案是：由左至右。先忽略60后面的那个0，用从左至右的方法计算6 × 58：6 × 50 = 300，6 × 8 = 48。然后，把这两个数字（从左至右）相加，得到348。因此，60 × 58 = 3 480。那么
1700994001
1700994002
592=(60×58) + 12= 3 480 + 1 = 3 481
1700994003
1700994004
延伸阅读
1700994005
1700994006
下面，我们通过代数运算来解释其中的道理。（在你读完第2章关于平方差的内容之后，再回过头来看这部分内容，效果可能会更好。）
1700994007
1700994008
A2= (A+d) (A–d) +d2
1700994009
1700994010
其中A是平方运算的底数，d是A与离其最近的简便数字的差（当然，d取任意值时，上述公式都成立）。例如，计算59的平方数时，A= 59，d= 1。根据公式，计算(59 + 1)×(59–1) + 12就可以得出答案。
1700994011
1700994012
在你对两位数的平方运算感到得心应手之后，还可以利用这个方法完成三位数的平方运算。例如，如果我们知道122= 144，那么