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12堂魔力数学课 [:1700993719]
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12堂魔力数学课 方程式的图像
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17世纪的法国数学家费马[2]和笛卡儿[3]在各自的研究中发现，代数方程式可以用图像直观地呈现出来；反之，几何图形也可以用代数方程式表示。他们的这个发现让数学领域发生了翻天覆地的变化。
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我们先来看一个简单方程式的图像：
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y= 2x+ 3
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该方程式表明，对于变量x的每一个值，在把它加倍并加上3之后，就可以得到y的值。下表中列出了几组x、y的值，据此我们绘制出这些点，本例中的点有(–3, –3)、(–2, –1)、(–1, 1)等。将这些点连接起来，所得到的就是方程式的图像。下图是方程式y= 2x+ 3的图像。
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方程式y= 2x+ 3的图像
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下面，我向大家介绍一些重要的术语。上图中的那条水平线叫作x轴，垂直的那条线叫作y轴。本例中的图像是一条直线，斜率是2，y轴截距是3。斜率表示这条直线的倾斜程度。斜率是2，意味着x每增加1个单位，y就会增加2个单位（从上图可以看出这个特点）。y轴截距表示x= 0时y的值。从几何学的角度看，它表示这条直线与y轴相交的位置。一般而言，方程式y=mx+b的图像是斜率为m、y轴截距为b的一条直线（反之亦然）。通常，我们通过方程式来识别直线，因此我们可以直接说，上图代表的就是直线y= 2x+ 3。
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下图是直线y= 2x– 2和y= –x+ 7的图像。
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y= 2x– 2和y= –x+ 7的图像在哪里相交？
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直线y= 2x– 2的斜率是2，y轴截距是 –2。（该图像与直线y= 2x+ 3平行，将后者垂直向下平移5个单位后即可得到直线y= 2x– 2。）y= –x+ 7的图像斜率是 –1，这表示x每增加1个单位，y就会减少1个单位。接下来，我们通过代数运算，找出这两条直线的交点 (x,y)。在这两条直线相交的位置，这两个方程式的x和y值是相同的。因此，我们需要找到y值相同时所对应的x值。换句话说，我们需要求解下面这个方程式：
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2x– 2 = –x+ 7
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方程式左右两边同时加上x再加上2，就可以得到：
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3x= 9
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因此，x=3。只要知道x的值，我们就可以利用这两个方程式中的任意一个求出y的值。由于y= 2x– 2，x=3，所以y= 2×3 – 2 = 4。（或者因为y= –x+ 7，x=3，所以y= – 3 + 7 = 4。）由此可见，这两条直线的交点是 (3, 4)。
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直线的图像是很容易画出来的，因为只要知道直线上的任意两点，就可以画出整条直线。对于二次函数（包含变量x2）而言，要画出它的图像就不那么容易了。图像最简单的二次函数是y=x2（如下图所示）。二次函数的图像被称为“抛物线”。
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y=x2的图像
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下图是y=x2+ 4x– 12 = (x+ 6) (x– 2) 的图像。
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y=x2+ 4x– 12 = (x+ 6) (x– 2) 的图像（y轴的刻度做了调整）
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注意，当x= – 6或x= 2时，y= 0。我们从图像上可以看出，抛物线正好与x轴相交于这两个点。抛物线的最低点必然位于这两个点的中间位置，此时x= – 2。点 (– 2, – 16)被称为抛物线的“顶点”。