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12堂魔力数学课 冰激凌、彩票与扑克牌游戏
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接下来,我们将利用刚刚学到的计数知识,计算我们中彩票大奖和玩扑克牌游戏时拿到各种牌面的概率。但是,我先制作一些冰激凌,让大家放松放松。
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假设某家商店出售10种口味的冰激凌,可以搭配出多少种三球冰激凌呢?在做圆筒冰激凌时,各种口味的先后次序是需要考虑的(当然如此!)。如果各种口味都允许重复,那么每个冰激凌都有10个选择,共可以做出103= 1 000种圆筒冰激凌。如果我们要求每个冰激凌有3种不同口味,那么圆筒冰激凌的种类为10×9×8 = 720种,如下图所示。
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把3种不同口味的冰激凌球放到一个圆筒里,共有3! = 6种排列方式
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但是,我们真正需要考虑的问题是:在先后次序无关紧要的情况下,每个杯装冰激凌包含3种不同口味,共有多少种排列方式?既然先后次序不重要,种类肯定会减少。事实上,数量会减少为圆筒冰激凌的1/6。为什么会这样呢?因为每个杯装的3种不同口味的冰激凌(比如,巧克力、香草和薄荷口味),在装到圆筒里时都有3! = 6种排列方式。也就是说,圆筒冰激凌的种类是杯装冰激凌的6倍。所以,杯装冰激凌的数量是:
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10×9×8的另一种写法是10! / 7!(尽管第一种写法更便于计算)。因此,杯装冰激凌的种类数可以写成。我们把这个表达式称为“10选3”,记作,它的值是120。一般而言,从n个不同对象中选择k个,并且不考虑先后次序的活动被称为“n选k”,公式为:
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数学界把这类计数问题称作“组合”(combinations),把这种形式的数字称作“二项式系数”(binomial coefficients),把需要考虑先后次序的计数问题称作“排列”(permutations)。这些术语在使用时很容易发生混淆,例如,我们经常把“密码锁”说成“combination lock”(数字组合锁),实际上应该是“permutation lock”(数字排列锁),因为数字的先后次序非常重要。
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如果冰激凌店出售20种口味的冰激凌,你希望在一个圆筒中装5种不同口味的冰激凌(次序不重要),那么各种组合的数量为:
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顺便告诉大家,如果你们的计算器没有专门计算的按钮,也可以使用互联网,在搜索引擎中输入“20选5”,就可能会找到答案。
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二项式系数有时会出现在似乎需要考虑先后次序的问题之中。如果我们抛10次硬币,硬币正反面的排列方式(例如,正反正反反正正反反反,正正正正正正正正正正)有多少种呢?由于每次抛掷都有两个可能的结果,因此根据乘法法则,一共有210= 1 024个可能的排列,而且每种结果的发生概率都是相同的。(第一次听到这个结论时,有些人会感到吃惊,因为他们认为得到例子中给出的第二种结果的概率小于第一个。但实际上,得到这两个结果的概率都是。)不过,抛10次硬币,得到4个正面的概率大于10个正面,这是因为只有一种情况可以得到10个正面,这种情况发生的概率是。那么,抛10次得到4个正面的情况有多少种呢?这样的排列要求10次中有4次是正面朝上,其他6次都是反面朝上。从10次中选取4次,共有= 210种排列方式。(与从10种口味中选择4种不同口味冰激凌的情况相似。)因此,抛掷10次硬币,在公平公正的情况下,正好得到4个正面的概率是:
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≈20%
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我们自然而然地就会想到一个问题:从10种口味的冰激凌中挖3个球,可以重复选择同一口味,一共可以制成多少种圆筒冰激凌?(103/ 6显然不是正确答案,因为它连整数都不是!)直接的解法是:根据每个圆筒中有几种口味的冰激凌,分三种情况考虑。如果只有1种口味,自然只有10种可能。如果有3种口味,根据前面的讨论,我们知道共有= 120种可能。如果有2种口味,我们知道有种选取办法,然后还要考虑哪种口味挖2个球,因此共有2×= 90种可能。把这三种情况汇总起来,共可以制作出10 + 120 + 90 = 220种圆筒冰激凌。
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