1700995448
12堂魔力数学课 [:1700993729]
1700995449
12堂魔力数学课 冰激凌、彩票与扑克牌游戏
1700995450
1700995451
接下来，我们将利用刚刚学到的计数知识，计算我们中彩票大奖和玩扑克牌游戏时拿到各种牌面的概率。但是，我先制作一些冰激凌，让大家放松放松。
1700995452
1700995453
假设某家商店出售10种口味的冰激凌，可以搭配出多少种三球冰激凌呢？在做圆筒冰激凌时，各种口味的先后次序是需要考虑的（当然如此!）。如果各种口味都允许重复，那么每个冰激凌都有10个选择，共可以做出103= 1 000种圆筒冰激凌。如果我们要求每个冰激凌有3种不同口味，那么圆筒冰激凌的种类为10×9×8 = 720种，如下图所示。
1700995454
1700995455
1700995456
1700995457
1700995458
把3种不同口味的冰激凌球放到一个圆筒里，共有3! = 6种排列方式
1700995459
1700995460
但是，我们真正需要考虑的问题是：在先后次序无关紧要的情况下，每个杯装冰激凌包含3种不同口味，共有多少种排列方式？既然先后次序不重要，种类肯定会减少。事实上，数量会减少为圆筒冰激凌的1/6。为什么会这样呢？因为每个杯装的3种不同口味的冰激凌（比如，巧克力、香草和薄荷口味），在装到圆筒里时都有3! = 6种排列方式。也就是说，圆筒冰激凌的种类是杯装冰激凌的6倍。所以，杯装冰激凌的数量是：
1700995461
1700995462
1700995463
1700995464
1700995465
1700995466
1700995467
10×9×8的另一种写法是10! / 7!（尽管第一种写法更便于计算）。因此，杯装冰激凌的种类数可以写成。我们把这个表达式称为“10选3”，记作，它的值是120。一般而言，从n个不同对象中选择k个，并且不考虑先后次序的活动被称为“n选k”，公式为：
1700995468
1700995469
1700995470
1700995471
1700995472
1700995473
数学界把这类计数问题称作“组合”（combinations），把这种形式的数字称作“二项式系数”（binomial coefficients），把需要考虑先后次序的计数问题称作“排列”（permutations）。这些术语在使用时很容易发生混淆，例如，我们经常把“密码锁”说成“combination lock”（数字组合锁），实际上应该是“permutation lock”（数字排列锁），因为数字的先后次序非常重要。
1700995474
1700995475
如果冰激凌店出售20种口味的冰激凌，你希望在一个圆筒中装5种不同口味的冰激凌（次序不重要），那么各种组合的数量为：
1700995476
1700995477
1700995478
1700995479
1700995480
1700995481
顺便告诉大家，如果你们的计算器没有专门计算的按钮，也可以使用互联网，在搜索引擎中输入“20选5”，就可能会找到答案。
1700995482
1700995483
1700995484
1700995485
1700995486
二项式系数有时会出现在似乎需要考虑先后次序的问题之中。如果我们抛10次硬币，硬币正反面的排列方式（例如，正反正反反正正反反反，正正正正正正正正正正）有多少种呢？由于每次抛掷都有两个可能的结果，因此根据乘法法则，一共有210= 1 024个可能的排列，而且每种结果的发生概率都是相同的。（第一次听到这个结论时，有些人会感到吃惊，因为他们认为得到例子中给出的第二种结果的概率小于第一个。但实际上，得到这两个结果的概率都是。）不过，抛10次硬币，得到4个正面的概率大于10个正面，这是因为只有一种情况可以得到10个正面，这种情况发生的概率是。那么，抛10次得到4个正面的情况有多少种呢？这样的排列要求10次中有4次是正面朝上，其他6次都是反面朝上。从10次中选取4次，共有= 210种排列方式。（与从10种口味中选择4种不同口味冰激凌的情况相似。）因此，抛掷10次硬币，在公平公正的情况下，正好得到4个正面的概率是：
1700995487
1700995488
1700995489
≈20%
1700995490
1700995491
延伸阅读
1700995492
1700995493
1700995494
1700995495
1700995496
我们自然而然地就会想到一个问题：从10种口味的冰激凌中挖3个球，可以重复选择同一口味，一共可以制成多少种圆筒冰激凌？（103/ 6显然不是正确答案，因为它连整数都不是！）直接的解法是：根据每个圆筒中有几种口味的冰激凌，分三种情况考虑。如果只有1种口味，自然只有10种可能。如果有3种口味，根据前面的讨论，我们知道共有= 120种可能。如果有2种口味，我们知道有种选取办法，然后还要考虑哪种口味挖2个球，因此共有2×= 90种可能。把这三种情况汇总起来，共可以制作出10 + 120 + 90 = 220种圆筒冰激凌。
1700995497