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12堂魔力数学课 质数、黄金比例与《达·芬奇密码》
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我们已经知道,帕斯卡三角形中的偶数与奇数表现出一种极其复杂的规律。对于斐波那契数列而言,情况则简单得多。在斐波那契数列中哪些是偶数呢?
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1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
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偶数有F3= 2,F6= 8,F9= 34,F12= 144,等等。(在本节中,由于斐波那契数列表现出更美的规律性,因此我们继续用大写字母“F”来表示斐波那契数列中的数字。)前几个偶数出现在第3、6、9、12等的位置上,说明每3项就有一个偶数。我们注意到,这个规律始于:
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奇,奇,偶
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然后重复:
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奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶……
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这是因为,在每个“奇,奇,偶”代码块之后,接下来的代码块必然以“奇 + 偶 = 奇”开始,然后是“偶 + 奇 = 奇”,再然后是“奇 + 奇 = 偶”,如此循环往复。
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用第3章的同余概念来表示的话,就是说斐波那契数列中的所有偶数都关于0同余(模为2),所有奇数都关于1同余(模为2),并且1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。因此,斐波那契数列的以2为模的表达方式是:
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1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…
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那么,斐波那契数列中的哪些数字是3的倍数呢?前几个是3的倍数的数字为F4= 3,F8= 21,F12= 144,这似乎表明序号是4的倍数的数字都是3的倍数。为了证明这个猜想,我们以3为模,把斐波那契数列简化成0、1或2的形式,其中1 + 2 ≡ 0,且2 + 2 ≡1 (mod 3)。
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于是,斐波那契数列变为:
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1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1…
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在第8项之后,又回到了1和1,因此整个数列围绕大小为8的数据块不断重复,其中0排在第4位。因此,序号是4的倍数的数字都是3的倍数,反之亦然。如果模为5、8或13,就可以证明:
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序号是5的倍数的数字都是5的倍数;
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序号是6的倍数的数字都是8的倍数;
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序号是7的倍数的数字都是13的倍数。
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而且,这个规律还可以继续推而广之。
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斐波那契数列中两个相邻的数字有什么规律呢?它们有什么共同点吗?有意思的是,我们现在可以证明,从某种意义上讲,这些数字没有任何共同点。所以,我们说两个相邻的数字
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(1 , 1), (1 , 2), (2 , 3), (3 , 5), (5 , 8), (8 , 13), (13 , 21), (21 , 34),…
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是互质的。也就是说,不存在一个大于1且可以同时整除这两个数字的数。例如,以上面最后一对数字为例,我们发现21可以被1、3、7、21整除,而34的因数是1、2、17、34。因此,除了1以外,21和34没有公因数。我们能确定这个规律始终成立吗?我们是否可以确定下一对数字,即 (34 , 55),也是互质的?我们无须找出55的因数,即可完成这项证明。我们反过来假设存在一个数字d> 1且可以同时整除34和55,那么这个数字肯定可以整除它们的差55 – 34 = 21(如果55和34都是d的倍数,它们的差也肯定是d的倍数)。但这是不可能的,因为我们已经知道不存在一个大于1且可以同时整除21和34的数字d。重复这个证明过程,就可以证明斐波那契数列中所有两个相邻的数字都是互质的。
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接下来,我要向大家介绍斐波那契数列最讨人喜欢的一个特点!我们知道,两个数字的“最大公因数”(greatest common divisor)是可以同时整除这两个数字且数值最大的那个数。例如,20和90的最大公因数是10,记作:
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(20 , 90) = 10
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你知道斐波那契数列中的第20个和第90个数字的最大公因数是多少吗?绝对难以想象!答案是55,这个数字本身也包含在斐波那契数列中,而且正好是第10个数字!用等式表示的话,就是:
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(F20,F90) =F10
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