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12堂魔力数学课 质数、黄金比例与《达·芬奇密码》
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我们已经知道，帕斯卡三角形中的偶数与奇数表现出一种极其复杂的规律。对于斐波那契数列而言，情况则简单得多。在斐波那契数列中哪些是偶数呢？
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1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…
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偶数有F3= 2，F6= 8，F9= 34，F12= 144，等等。（在本节中，由于斐波那契数列表现出更美的规律性，因此我们继续用大写字母“F”来表示斐波那契数列中的数字。）前几个偶数出现在第3、6、9、12等的位置上，说明每3项就有一个偶数。我们注意到，这个规律始于：
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奇，奇，偶
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然后重复：
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奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……
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这是因为，在每个“奇，奇，偶”代码块之后，接下来的代码块必然以“奇 + 偶 = 奇”开始，然后是“偶 + 奇 = 奇”，再然后是“奇 + 奇 = 偶”，如此循环往复。
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用第3章的同余概念来表示的话，就是说斐波那契数列中的所有偶数都关于0同余（模为2），所有奇数都关于1同余（模为2），并且1 + 1 ≡ 0 (mod 2)。因此，斐波那契数列的以2为模的表达方式是：
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1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
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那么，斐波那契数列中的哪些数字是3的倍数呢？前几个是3的倍数的数字为F4= 3，F8= 21，F12= 144，这似乎表明序号是4的倍数的数字都是3的倍数。为了证明这个猜想，我们以3为模，把斐波那契数列简化成0、1或2的形式，其中1 + 2 ≡ 0，且2 + 2 ≡1 (mod 3)。
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于是，斐波那契数列变为：
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1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1…
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在第8项之后，又回到了1和1，因此整个数列围绕大小为8的数据块不断重复，其中0排在第4位。因此，序号是4的倍数的数字都是3的倍数，反之亦然。如果模为5、8或13，就可以证明：
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序号是5的倍数的数字都是5的倍数；
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序号是6的倍数的数字都是8的倍数；
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序号是7的倍数的数字都是13的倍数。
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而且，这个规律还可以继续推而广之。
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斐波那契数列中两个相邻的数字有什么规律呢？它们有什么共同点吗？有意思的是，我们现在可以证明，从某种意义上讲，这些数字没有任何共同点。所以，我们说两个相邻的数字
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(1 , 1), (1 , 2), (2 , 3), (3 , 5), (5 , 8), (8 , 13), (13 , 21), (21 , 34),…
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是互质的。也就是说，不存在一个大于1且可以同时整除这两个数字的数。例如，以上面最后一对数字为例，我们发现21可以被1、3、7、21整除，而34的因数是1、2、17、34。因此，除了1以外，21和34没有公因数。我们能确定这个规律始终成立吗？我们是否可以确定下一对数字，即 (34 , 55)，也是互质的？我们无须找出55的因数，即可完成这项证明。我们反过来假设存在一个数字d> 1且可以同时整除34和55，那么这个数字肯定可以整除它们的差55 – 34 = 21（如果55和34都是d的倍数，它们的差也肯定是d的倍数）。但这是不可能的，因为我们已经知道不存在一个大于1且可以同时整除21和34的数字d。重复这个证明过程，就可以证明斐波那契数列中所有两个相邻的数字都是互质的。
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接下来，我要向大家介绍斐波那契数列最讨人喜欢的一个特点！我们知道，两个数字的“最大公因数”（greatest common divisor）是可以同时整除这两个数字且数值最大的那个数。例如，20和90的最大公因数是10，记作：
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(20 , 90) = 10
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你知道斐波那契数列中的第20个和第90个数字的最大公因数是多少吗？绝对难以想象！答案是55，这个数字本身也包含在斐波那契数列中，而且正好是第10个数字！用等式表示的话，就是：
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(F20，F90) =F10
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