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12堂魔力数学课 [:1700993737]
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12堂魔力数学课 有理数和无理数
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上述定理不会让你感到吃惊，它们的证明过程也非常直接。只在证明某些不太直观的定理时，我们才可以体会到其中的乐趣。到目前为止，我们接触的都是整数，现在可以进阶到分数的相关定理的证明了。“有理数”（rational number）是指可以表示为分数形式的数字。更准确的说法是，如果r=a/b，其中a和b是整数（且b≠ 0），那么我们说r是有理数。不能表示为分数形式的数字叫作“无理数”（irrational number）。（你或许听说过，数字π= 3.141 59…就是无理数，我们将在本书第8章对它进行详细介绍。）
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在介绍下一个定理之前，我们有必要回顾一下分数的加法。如果分数的分母相同，进行加法运算时就极为简单。例如：
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否则，我们必须先把它们化成分母相同的形式，再进行加法运算。例如：
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一般而言，在计算两个分数a/b和c/d的和时，我们可以为它们赋予一个公分母，例如：
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接下来，我们就可以证明有理数的一些简单属性了。
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定理：两个有理数的平均数仍然是有理数。
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证明：令x和y为有理数，必然存在a、b、c、d，满足x=a/b，y=c/d。所以，x和y的平均数为：
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由此可见，该平均数是一个分数，且分子、分母均为整数。因此，有理数x和y的平均数也是有理数。
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我们想一想，这个定理有什么含义？它的意思是，对于任意两个有理数，即使它们非常接近，我们也总能找出一个位于它们之间的有理数。也许你忍不住会想，所有的数字都是有理数（古希腊人也曾有这样的想法）。但是，令人吃惊的是，这个想法是错误的。我们以为例，这个数字的小数形式是1.414 2…。现在，我们有很多方法，用分数来近似地表示。例如，近似等于10 / 7或者1 414 /1 000，但是这些分数的平方都不会正好等于2。是不是因为我们找得还不够仔细呢？下面这个定理告诉我们，无论我们怎么努力，都会无功而返。该定理的证明采用了反证法，关于无理数的定理通常都会采用这种证明方法。我们知道，所有分数都可化简至最简分数，即分子和分母没有大于1的公因数。下面的证明过程就将利用分数的这个特点。
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定理：是无理数。
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证明：我们假设是有理数，则必然存在正整数a和b，满足：
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=a/b
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其中，a/b是最简分数。等式两边同时进行平方运算，就有：
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2 =a2/b2
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也就是说，a2= 2b2。由此可知，a2必然是偶数。如果a2是偶数，那么a也必然是偶数（前文中已经证明，如果a是奇数，那么其自乘的结果也必然是奇数）。因此，a= 2k，k是整数。将它代入上面的等式，就有：