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12堂魔力数学课 [:1700993739]
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12堂魔力数学课 谜一般的质数
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上文中我们证明了所有的正整数都可以表示成2的不同次幂相加的唯一形式。从某种意义上讲，你可以把2的幂次方看作建筑材料，通过加法运算，搭建起正整数这座大厦。接下来，我们将会看到质数通过乘法运算扮演了一个类似的角色：所有正整数都可以表示成质数乘积的唯一形式。2的幂次方很容易确认，不会给数学界带来多少意外发现。质数则不同，它们复杂得多，还有很多未解之谜。
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质数是只有1和它本身这两个正约数的正整数。排在前几位的质数是：
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2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53…
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1只有一个约数，就是它本身，因此1不是质数。（人们认为1不是质数，还有一个更重要的原因，稍后揭晓。）请注意，2是唯一一个既是偶数又是质数的数字。因此，有人可能会认为2是最奇怪的质数。
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有3个或3个以上约数的正整数叫作“合数”，因为它们可以被分解成多个因数相乘的形式。排在前几位的合数是：
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4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，30…
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例如，4有3个约数：1，2和4。6有4个约数：1，2，3和6。注意，1既不是质数，也不是合数。数学界把1称为“计数单位”（unit），它是所有整数的约数。
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所有合数都可以表示成质数乘积的形式。比如，120 = 6×20，由于6和20是合数，可以表示成质数乘积的形式，即6 = 2×3，20 = 2×2×5。因此：
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120 = 2×2×2×3×5 = 23×31×51
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有意思的是，无论我们以何种方式开始，质因数分解的最后结果都是一样的。这就是“唯一分解定理”（unique factorization theorem）得出的结论。唯一分解定理亦称“算术基本定理”（fundamental theorem of arithmetic），指任何一个大于1的正整数都能分解成有限个质数的乘积的唯一形式。
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顺便告诉大家，我们认为1不是质数的真正原因就在于这条定理。例如，12可以分解成2×2×3，也可以分解成1×1×2×2×3，如果把1视为质数，那么质因数分解就无法得出唯一的结果。
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一旦知道某个数字如何分解，就可以了解到关于这个数字的很多信息。小时候，我最喜欢的数字是9，但在成长的过程中，我最喜欢的数字也在不断“成长”，而且越来越复杂（例如，π = 3.141 59…，φ= 1.618…，e= 2.718 28…，以及没有小数表达式的i，等等。我们将在本书第10章讨论这些数字。）在接触无理数之前，我一度非常喜欢2 520这个数字，因为在可以被从1到10的所有数字整除的数中，它是最小的一个。它的质因数分解表达式是：
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2 520 = 23×32×51×71
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只要知道某个数字的质因数分解结果，就可以立刻说出它有多少个正约数。例如，2 520的约数必然是2a×3b×5c×7d的形式，其中a是0、1、2、3（4种可能），b是0、1、2（3种可能），c是0、1（2种可能），d是0、1（2种可能）。因此，根据乘法法则，2 520有4×3×2×2 = 48个正约数。
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延伸阅读
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算术基本定理的证明需要利用质数的某个属性（所有数论教科书都会在第1章证明这个属性）：如果p是质数，而且是两个或两个以上数字乘积的一个约数，那么p至少是其中一个乘数的约数。例如，
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999 999 = 333×3 003
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999 999是11的倍数，因此11必然是333或者3 003的约数。（的确如此，因为3 003 = 11×273。）然而，有的合数并不具有这个属性。例如，60 = 6×10是4的倍数，但4既不是6的约数，也不是10的约数。
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为了证明质因数分解的唯一性，我们先做一个相反的假设：某个数字的质因数分解结果不止一个。假设N是有两个质因数分解结果的最小数字，例如：
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p1p2…pr=N=q1q2…qs
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其中，所有的pi和qj项都是质数。因为N肯定是p1的倍数，所以p1肯定是某个qj项的约数。为了方便起见，我们假定p1是q1的约数。由于q1是质数，因此肯定有q1=p1。把上面的等式除以p1，就会得到：
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p2…pr==q2…qs
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这说明也有两个质因数分解结果，但我们假设N才是有两个质因数分解结果的最小数字，因此两者是矛盾的。 □