打字猴:1.700996998e+09
1700996998 12堂魔力数学课 [:1700993739]
1700996999 12堂魔力数学课 谜一般的质数
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1700997001 上文中我们证明了所有的正整数都可以表示成2的不同次幂相加的唯一形式。从某种意义上讲,你可以把2的幂次方看作建筑材料,通过加法运算,搭建起正整数这座大厦。接下来,我们将会看到质数通过乘法运算扮演了一个类似的角色:所有正整数都可以表示成质数乘积的唯一形式。2的幂次方很容易确认,不会给数学界带来多少意外发现。质数则不同,它们复杂得多,还有很多未解之谜。
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1700997003 质数是只有1和它本身这两个正约数的正整数。排在前几位的质数是:
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1700997005 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53…
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1700997007 1只有一个约数,就是它本身,因此1不是质数。(人们认为1不是质数,还有一个更重要的原因,稍后揭晓。)请注意,2是唯一一个既是偶数又是质数的数字。因此,有人可能会认为2是最奇怪的质数。
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1700997009 有3个或3个以上约数的正整数叫作“合数”,因为它们可以被分解成多个因数相乘的形式。排在前几位的合数是:
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1700997011 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30…
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1700997013 例如,4有3个约数:1,2和4。6有4个约数:1,2,3和6。注意,1既不是质数,也不是合数。数学界把1称为“计数单位”(unit),它是所有整数的约数。
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1700997015 所有合数都可以表示成质数乘积的形式。比如,120 = 6×20,由于6和20是合数,可以表示成质数乘积的形式,即6 = 2×3,20 = 2×2×5。因此:
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1700997017 120 = 2×2×2×3×5 = 23×31×51
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1700997019 有意思的是,无论我们以何种方式开始,质因数分解的最后结果都是一样的。这就是“唯一分解定理”(unique factorization theorem)得出的结论。唯一分解定理亦称“算术基本定理”(fundamental theorem of arithmetic),指任何一个大于1的正整数都能分解成有限个质数的乘积的唯一形式。
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1700997021 顺便告诉大家,我们认为1不是质数的真正原因就在于这条定理。例如,12可以分解成2×2×3,也可以分解成1×1×2×2×3,如果把1视为质数,那么质因数分解就无法得出唯一的结果。
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1700997023 一旦知道某个数字如何分解,就可以了解到关于这个数字的很多信息。小时候,我最喜欢的数字是9,但在成长的过程中,我最喜欢的数字也在不断“成长”,而且越来越复杂(例如,π = 3.141 59…,φ= 1.618…,e= 2.718 28…,以及没有小数表达式的i,等等。我们将在本书第10章讨论这些数字。)在接触无理数之前,我一度非常喜欢2 520这个数字,因为在可以被从1到10的所有数字整除的数中,它是最小的一个。它的质因数分解表达式是:
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1700997025 2 520 = 23×32×51×71
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1700997027 只要知道某个数字的质因数分解结果,就可以立刻说出它有多少个正约数。例如,2 520的约数必然是2a×3b×5c×7d的形式,其中a是0、1、2、3(4种可能),b是0、1、2(3种可能),c是0、1(2种可能),d是0、1(2种可能)。因此,根据乘法法则,2 520有4×3×2×2 = 48个正约数。
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1700997029 延伸阅读
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1700997031 算术基本定理的证明需要利用质数的某个属性(所有数论教科书都会在第1章证明这个属性):如果p是质数,而且是两个或两个以上数字乘积的一个约数,那么p至少是其中一个乘数的约数。例如,
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1700997033 999 999 = 333×3 003
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1700997035 999 999是11的倍数,因此11必然是333或者3 003的约数。(的确如此,因为3 003 = 11×273。)然而,有的合数并不具有这个属性。例如,60 = 6×10是4的倍数,但4既不是6的约数,也不是10的约数。
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1700997037 为了证明质因数分解的唯一性,我们先做一个相反的假设:某个数字的质因数分解结果不止一个。假设N是有两个质因数分解结果的最小数字,例如:
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1700997039 p1p2…pr=N=q1q2…qs
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1700997041 其中,所有的pi和qj项都是质数。因为N肯定是p1的倍数,所以p1肯定是某个qj项的约数。为了方便起见,我们假定p1是q1的约数。由于q1是质数,因此肯定有q1=p1。把上面的等式除以p1,就会得到:
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1700997044 p2…pr==q2…qs
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1700997047 这说明也有两个质因数分解结果,但我们假设N才是有两个质因数分解结果的最小数字,因此两者是矛盾的。 □
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