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12堂魔力数学课 [:1700993743]
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12堂魔力数学课 多边形的周长和面积
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多边形的周长是所有边长之和。例如，如果矩形的底边长度为b，高为h，它的周长就是2b+ 2h，这是因为这个矩形有两条长度为b的边和两条长度为h的边。那么，这个矩形的面积是多少呢？我们把1×1方格的面积（平方单位）定义为1。如下图所示，如果b和h是正整数，那么我们可以把这个图形分割成bh个1×1方格，因此它的面积是bh。一般来说，对于底边为b、高为h的任意矩形（其中b和h是正数，但不一定是整数），我们将它的面积定义为bh。
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底为b、高为h的矩形周长是2b+ 2h，面积是bh
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延伸阅读
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在本章中，我们一直在利用代数知识解释几何问题。不过，几何学有时候也可以帮助我们解释代数问题。思考一下这样一个代数问题：如果x可以取任意正数，那么x +1/x的最小值是多少？如果x= 1，上式就等于2；如果x= 1.25，上式就等于1.25 + 0.8 = 2.05；如果x= 2，得数就是2.5。这些数据似乎表明最小值是2，这个答案是正确的，但我们如何证明呢？在本书第11章中，我们可以通过微积分直截了当地解决这个问题。但是，只要动动脑筋，我们也可以借助简单的几何知识，轻轻松松地完成这项任务。
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下图是一个中间有空洞的正方形。整个图形由4个长方块拼成，每个长方块的边长分别为x和1/x。整个图形（包括中间的空洞）的面积是多少？
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一方面，由于该图形是边长为x+ 1/x的正方形，因此它的面积为 (x+ 1/x)2。另一方面，每个长方块的面积是1，这个图形的面积至少是4。也就是说：
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(x+ 1/x)2H 4
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从而得出x+ 1/xH 2。证明完毕。
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从矩形面积的计算方法，我们几乎可以推导出所有几何图形面积的计算方法。我们先来推导三角形面积的计算方法。
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定理：底为b、高为h的三角形的面积为bh。
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下图中的3个三角形的底都是b，高都是h，因此它们的面积相等。从本质上讲，这与本章开头小测试中的问题3相同。对于很多人来说，这是一个让他们吃惊的事实。
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底为b、高为h的三角形的面积是bh。无论直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，都遵循这个规律
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根据角A与角C的大小，可以将这个问题分成3种情况考虑。如果角A或角C是直角，我们可以复制三角形ABC，并把两个三角形放在一起（如下图所示），构成面积为bh的矩形。由于三角形ABC的面积是矩形面积的1/2，因此三角形的面积必然等于bh。
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两个底为b、高为h的三角形可以构成一个面积为bh的矩形
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如果角A和角C都是锐角，我们也可以做出巧妙的证明。如下图所示，从点B向画一条垂线（被称作三角形ABC的高），交点为X，那么垂线的长度为h。
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