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12堂魔力数学课 [:1700993752]
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12堂魔力数学课 第9章 用途多多的三角学
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12堂魔力数学课 [:1700993753]
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12堂魔力数学课 如何测量一座山的高度
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三角学可以帮助我们解决经典几何学无法搞定的几何问题。例如，请大家考虑下面这个问题。
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问题：利用量角器和袖珍计算器测量附近山峰的高度。
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我会给出5种解题方法，其中前3种方法几乎不需要使用任何数学知识！
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方法1（暴力测量法）：爬到山顶，将计算器扔到山脚下（需要力气足够大），测量计算器落到地面所需的时间（也许你会听到山下传来爬山者的尖叫声）。如果测量结果为t秒，同时我们不考虑空气阻力和终端速度等因素，那么根据标准物理学方程式，我们可以计算出山的高度大约是16t2英尺。但是，由于空气阻力和终端速度等因素的影响力非常显著，因此你的计算结果准确度不高。此外，你的计算器也可能找不回来了。而且，如果应用这个方法，你还需要计时设备，这个计时设备可能正好安装在你的计算器上。这个方法的好处是无须使用量角器。
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方法2（户外运动爱好者问询法）：[1]找到一名态度友好的护林员，把那个漂亮的量角器送给她，请她告诉你这座山的高度。如果找不到护林员，就在附近找一名皮肤黝黑的男士，这样的人长期在户外活动，或许知道这个问题的答案。这个方法的好处是可以让你交到一名新朋友，而且不需要牺牲你的计算器。此外，如果你对这位皮肤黝黑的户外运动爱好者的答案有所怀疑，你还可以爬到山顶，用第一种方法测量山峰的高度。这个方法的缺点是你将失去量角器，还有可能受到行贿指控。
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方法3（指示牌法）：在使用第一种和第二种方法之前，看看附近是否有说明山峰高度的指示牌。这个方法的好处是无须牺牲任何物品。
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当然，如果你对这些方法都不感兴趣，那么你只能借助数学方法了。本章将告诉大家如何利用数学方法解决此类问题。
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12堂魔力数学课 [:1700993754]
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12堂魔力数学课 三角学、三角形和三角函数
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“trigonometry”（三角学）的希腊字根是“trigon”和“metria”，意思是三角形测量。我们先来分析一些经典的三角形。
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等腰直角三角形。等腰直角三角形包含一个90°的角，且另外两个角必须相等。也就是说，除直角以外的两个角都是45°（因为三角形的内角和为180°）。因此，我们把等腰直角三角形称为45–45–90三角形。如果两个直角边长为1，根据勾股定理，斜边的长度必然是。注意，如下图所示，所有等腰直角三角形的边长比都是1∶1∶。
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45 – 45 – 90三角形的边长比是1∶1∶
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30 – 60 – 90三角形。等边三角形的所有边长都相等，所有角都是60°。如下图所示，如果将等边三角形分成两个完全相等的部分，所得到的两个直角三角形的三个内角分别是30°、60°和90°。如果等边三角形的边长为2，直角三角形的斜边长就是2，短直角边的边长是1。根据勾股定理，长直角边的边长为。因此，所有30 – 60 – 90三角形的边长比都是1∶∶2（我把它记作1∶2∶）。具体地说，如果斜边长度为1，那么另外两边的长度分别为1/2和/ 2。