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12堂魔力数学课 [:1700993760]
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12堂魔力数学课 虚数i是-1的平方根
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虚数i非常神秘，原因在于：
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i2= – 1
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第一次听说这个数字的神奇属性时，人们往往认为这是不可能的。一个数字自乘之后，积竟然为负数，这怎么可能呢？所有人都知道，02= 0，负数与自身的乘积必然是正数。但是，不要急于否定，想一想，你是不是也曾认为负数是不可能存在的（在几百年的时间里，数学界几乎都是这样认为的）？比0还小是什么意思？比没有还少，这怎么可能呢？最后，你把数字看成实数线（real line）上的“住户”，如下图所示，正数居住在0的右边，负数居住在0的左边。在理解i的含义时，我们也要跳出思维的“盒子”（或者说摆脱实数线的束缚）。只有这样，我们才会发现i具有实实在在的意义。
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实数线上没有虚数，虚数到底躲在哪里呢？
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我们把i称为虚数。如果一个数字的平方是负数，我们就说这个数字是虚数。例如，虚数2i满足 (2i) (2i) = 4i2= – 4。对于虚数而言，代数运算的规则不变。例如：
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3i+ 2i= 5i，3i– 2i= 1i=i，2i– 3i= –1i= –i，
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再例如：
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3i×2i= 6i2= – 6，= 3/2
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顺便告诉大家，我们要注意一个问题：–i的平方也是–1，因为 (–i) (–i) =i2= –1。实数与虚数相乘，会得到我们预期的结果，例如，3×2i= 6i。
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实数与虚数相加时，会有什么结果呢？例如，3加4i的和是多少？答案就是：3 + 4i。这个答案没有办法进一步化简（就像1 +没有办法化简一样）。a+bi这种形式的数字（其中a、b是实数）叫作“复数”（complex numbers）。注意，实数与虚数可被视为复数的特例（分别是b= 0和a= 0时的情况）。也就是说，实数π和虚数7i都是复数。
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接下来，我们举几个运算过程比较复杂（但不是特别复杂）的例子。先来看加减运算：
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(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
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(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 –i
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进行乘法运算时，我们可以应用本书第2章介绍的FOIL法则：
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(3 + 4i) (2 + 5i) = 6 + 15i+ 8i+ 20i2
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= (6 – 20) + (15 + 8)i
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= –14 + 23i
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有了复数之后，所有的二次多项式ax2+bx+c都有两个根（或者一个重根）。根据二次方程求根公式，在
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时，二次多项式等于0。我们在第2章说过，如果二次根号下的数字为负数，那么二次多项式没有实根。但是现在，负数的平方根已经不再是一个问题了。例如，方程式x2+ 2x+ 5的根为：
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