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12堂魔力数学课 虚数i是-1的平方根
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虚数i非常神秘,原因在于:
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i2= – 1
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第一次听说这个数字的神奇属性时,人们往往认为这是不可能的。一个数字自乘之后,积竟然为负数,这怎么可能呢?所有人都知道,02= 0,负数与自身的乘积必然是正数。但是,不要急于否定,想一想,你是不是也曾认为负数是不可能存在的(在几百年的时间里,数学界几乎都是这样认为的)?比0还小是什么意思?比没有还少,这怎么可能呢?最后,你把数字看成实数线(real line)上的“住户”,如下图所示,正数居住在0的右边,负数居住在0的左边。在理解i的含义时,我们也要跳出思维的“盒子”(或者说摆脱实数线的束缚)。只有这样,我们才会发现i具有实实在在的意义。
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实数线上没有虚数,虚数到底躲在哪里呢?
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我们把i称为虚数。如果一个数字的平方是负数,我们就说这个数字是虚数。例如,虚数2i满足 (2i) (2i) = 4i2= – 4。对于虚数而言,代数运算的规则不变。例如:
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3i+ 2i= 5i,3i– 2i= 1i=i,2i– 3i= –1i= –i,
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再例如:
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3i×2i= 6i2= – 6,= 3/2
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顺便告诉大家,我们要注意一个问题:–i的平方也是–1,因为 (–i) (–i) =i2= –1。实数与虚数相乘,会得到我们预期的结果,例如,3×2i= 6i。
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实数与虚数相加时,会有什么结果呢?例如,3加4i的和是多少?答案就是:3 + 4i。这个答案没有办法进一步化简(就像1 +没有办法化简一样)。a+bi这种形式的数字(其中a、b是实数)叫作“复数”(complex numbers)。注意,实数与虚数可被视为复数的特例(分别是b= 0和a= 0时的情况)。也就是说,实数π和虚数7i都是复数。
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接下来,我们举几个运算过程比较复杂(但不是特别复杂)的例子。先来看加减运算:
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(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
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(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 –i
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进行乘法运算时,我们可以应用本书第2章介绍的FOIL法则:
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(3 + 4i) (2 + 5i) = 6 + 15i+ 8i+ 20i2
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= (6 – 20) + (15 + 8)i
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= –14 + 23i
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有了复数之后,所有的二次多项式ax2+bx+c都有两个根(或者一个重根)。根据二次方程求根公式,在
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时,二次多项式等于0。我们在第2章说过,如果二次根号下的数字为负数,那么二次多项式没有实根。但是现在,负数的平方根已经不再是一个问题了。例如,方程式x2+ 2x+ 5的根为:
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