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12堂魔力数学课 [:1700993772]
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12堂魔力数学课 等比数列和喝啤酒的数学家
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先来思考一个数学界普遍认可，但大多数人第一眼见到时都觉得不正确的命题：
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0.999 99… = 1
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所有人都承认这两个数字非常接近，也可以说是无比接近，但很多人仍然认为不应该把它们视为同一个数。下面，我将提供不同的证据，证明这两个数字其实相等。我希望其中至少有一个解释可以让你感到满意。
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如果大家认为下面这个等式成立
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= 0.333 33…
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那么，最简便的证明方法可能就是在上式两边同时乘以3，然后得到：
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1 == 0.999 99…
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第二种证明方法是本书第6章用过的循环小数计算方法。我们用变量w来表示无穷小数展开式：
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w= 0.999 99…
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在等式两边同时乘以10，就会得到：
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10w= 9.999 99…
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再用第二个等式减去第一个等式：
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9w= 9.000 00…
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由此得到：w= 1。
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下面这种证明方法无须使用任何代数运算。如果两个数字不相等，那么它们中间必然存在一个不等于它们的数字（例如平均数）。大家对于这句话应该没有异议吧？我们采用反证法，假设0.999 99…与1是两个不相等的数字。在这种情况下，它们中间是否存在其他数字呢？如果无法找到这样的数字，就说明0.999 99…与1不可能是两个不相等的数字。
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如果两个数字或者两个无穷和彼此之间无限接近，我们就说这两个数字或无穷和相等。换句话说，你随便选一个正数，比如0.01、0.000 000 1或者十亿分之一，这两个数字之间的差都比你选的这个数字小。由于1和0.999 99…的差小于任意正数，因此数学界一致认为这两个数字是相等的。
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同理，我们可以算出下面这个无穷级数的和：
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1 +++++ …= 2
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我们用一个具体的方式来解释这个和。假设你朝着2米外的一堵墙壁走过去，第一步正好是1米，第二步是0.5米，然后是1/4米、1/8米，以此类推。每走一步，你与墙壁之间的距离就缩短1/2。不考虑在实际情况下步幅下限的问题，最后你如愿以偿地无限接近那堵墙。也就是说，所有步幅的总和正好等于2米。
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如下图所示，我们还可以用几何方法来表示这个和。假设我们有一个1×2的矩形，面积为2。然后，我们将它切去1/2，再切去1/2，就这样不停地切下去。第一次切完后矩形的面积是1，接下来依次是1/2、1/4……随着n趋于无穷大，这些切掉的部分就会组成整个矩形，因此它们的总面积为2。
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