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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001360]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第9章 应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？
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欧文叔叔是我爸爸的弟弟，他和我爸爸一起在镇上经营着一家鞋店。欧文叔叔大部分时间都待在鞋店楼上的办公室里，负责处理财务方面的事情。这是因为欧文叔叔虽然很有数学头脑，却不善于跟顾客打交道。
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在我10岁或11岁的时候，欧文叔叔给我出了我人生中的第一道应用题。直到今天，我仍然清楚地记得那道题目，我想大概是因为当时我把这道题目做错了，而且为此羞愧了好长时间，所以我才会记得这么清楚。
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这道应用题是关于往浴缸里灌水的问题：如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要半个小时；如果只开热水龙头，灌满浴缸需要1个小时。问：如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，灌满浴缸需要多长时间？
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我清楚地记得我的答案是45分钟，当然我完全是瞎猜的，我相信不少人都会想到45分钟这个答案。听到我的答案后，欧文叔叔摇了摇头、咧嘴笑了，然后，他开始用他那带着鼻音的尖细嗓音给我讲解这道题。
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欧文叔叔说：“史蒂芬，你先要搞清楚每分钟有多少水流进浴缸。”冷水龙头30分钟能灌满浴缸，也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30。而热水龙头的水流量比较小，60分钟才能灌满浴缸，也就是说热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么，当你把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌入浴缸的水流量就是：
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分数的加法运算怎么做呢？首先我们应该观察到，60是30和60的最小公倍数，所以，我们需要先把改写成, 于是：
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可见，如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌满浴缸的1/20。也就是说，20分钟就可以灌满整个浴缸。
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从那天以后，我不时会回想起欧文叔叔出的这道往浴缸里灌水的应用题。每次想起这道题，都会激起我对欧文叔叔的感情，以及我对这道题本身的兴趣。我觉得这道题里有一些更大的道理值得我们学习，那就是，当我们无法得到一个问题的准确答案时，如何快速求得问题的近似解呢？又应该如何用直觉来解题呢？用直觉解出一道题时，我们常常会获得一种茅塞顿开的快乐。
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首先，我们来考虑一下我最初瞎猜的答案：45分钟。我们只要思考两种极端情况，就可以立刻判断出45分钟这个答案绝对不可能是正确答案。实际上，45分钟这个答案是十分荒谬的。为什么这么说呢？让我们考虑一下这种情况：如果根本不开热水龙头，而只开冷水龙头，那么冷水龙头会在30分钟内把整个浴缸灌满。所以，不管欧文叔叔出的这道应用题的答案是什么，答案都绝对要少于30分钟。因为不管怎么说，让热水龙头来帮助冷水龙头一起灌水，绝对没有理由会延长水灌满浴缸的时间。
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当然，这个结论是很粗略的。得出这个结论以后，我们还是不知道同时打开两个水龙头到底需要多久才能灌满浴缸，在这个意义上，欧文叔叔的算法给出的信息量显然更大。但是，我的这种粗略的推导方法却有着欧文叔叔的算法所不具备的优点：我的方法并不涉及任何具体的计算。
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另一种简化问题的方法是：假设这两个水龙头的灌水速度是一样的。比如说，我们假设单独开冷水龙头或者热水龙头，都能在30分钟内灌满浴缸（也就是说，假设热水龙头的水流量和冷水龙头的水流量相同）。现在的问题就很简单了，因为新的假设创造出了原题所没有的“对称性”（即两个水龙头的水流量相同），所以我们可以立即判断出，冷热水龙头一起开，灌满浴缸需要的时间是15分钟（因为水流量加倍了，所以灌满浴缸的时间应该减半）。
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这种假设还可以立刻告诉我们，问题的精确解应该是大于15分钟的。为什么呢？因为我们夸大了热水龙头的水流量。两个水流量较大的水龙头灌满浴缸所需要的时间，显然应该大于一个水流量大、一个水流量小的两个水龙头灌满浴缸所需要的时间。欧文叔叔原题中的两个水龙头，一个水流龙头水流量大，一个水龙头水流量小；而我们现在假设两个水龙头都是大水流量的水龙头。既然两个大水流量的水龙头一起灌满浴缸需要15分钟的时间，那么一个大水流量的水龙头和一个小水流量的水龙头一起灌满浴缸所需要的时间，就必然超过15分钟。
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以上，我们考虑了两种假设：一种是假设只开冷水龙头而关闭热水龙头，另一种是假设热水龙头的水流量和冷水龙头的水流量相同。通过考虑这两种极端情况，我们可以知道，此题的精确解应该是大于15分钟而小于30分钟的。在有些情况下，问题会比欧文叔叔的浴缸灌水问题更复杂。在有些情况下，精确解是不可能求得的，这种情形不仅在数学领域存在，在其他领域中也十分常见。在这样的情形下，上文的这种分析思路能帮我们确定精确解的范围，为我们提供非常有用的信息。
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就算问题没有那么复杂，就算我们有幸能够得到问题的精确解，上面的这种分析方法仍然是有用的。有时，通过上面的这种思路，可以找到更简洁或是更清晰的解题思路。这是数学问题中我们可以自由发挥创造性的地方。
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比如，再回到欧文叔叔给我出的这道应用题上。欧文叔叔给出的解法是教科书上的标准解法，这种解法不仅涉及分数，还用到了最小公倍数的知识。其实，这道题还有别的更有意思的解法，其结果和欧文叔叔的答案是完全一致的。这个解法是我又年长了几岁以后才想出来的。当时，我回忆了一下欧文叔叔的问题，并且问我自己：为什么最初我会觉得这道题如此复杂，如此令人糊涂呢？答案是：因为两个水龙头的水流量是不一样的，所以我才搞不清楚；两个水龙头的水流量的差异是这道题目的难点。因为两个水龙头的水流量不同，要搞清楚同时灌水时每个水龙头分别灌了多少水，就变得比较麻烦。一冷一热两个水龙头同时放水，这些水又同时流进浴缸里，完全混到了一起：当我在脑海中想象出这么一个画面时，我的脑袋就像那个浴缸一样，混乱一片，完全摸不着头绪。
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