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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001365]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第13章 感性与逻辑兼备的几何证明方法
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每一门数学课都一定有一个臭名昭著、惹人生厌的部分。算术学中最烦人的是长除法；代数学中最令人讨厌的是运用题；几何学呢？好吧，我知道人人都恨证明题。
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对于刚开始学习几何学的学生来说，大部分人在此之前完全不知道证明题是什么。初次看到数学证明题，有人会觉得新奇，但更多的学生会觉得头晕目眩、深受打击。也许，数学证明就像药品一样，需要在上面贴上一个警示标签才好，比如：
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警告！本证明可能导致头晕及强烈睡意。长时间接触数学证明可能会产生如下副作用：夜间盗汗，惊厥恐惧。极少数患者可能会患上欣快症。使用前请务必咨询医生的专业意见。
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虽然数学证明如此令人迷惑不解，但学习数学证明的方法却是一种非常有益的教学活动。很多人认为，数学证明的技巧本身并不重要，重要的是在学习证明方法的过程中，学生们能够很好地锻炼他们的头脑，学会清晰而有逻辑的思维方式。也就是说，我们之所以要掌握几何学，并不是为了掌握三角、圆，以及平行线的性质，而是为了学会数学证明背后的思维方法，学会如何用严密的逻辑语言进行一步步的推论和证明，直到得到我们想要的结论为止。
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这套数学证明的方法是由欧几里得在2 300年前发明的。数学证明法最早见于欧几里得所著的《几何原本》。到目前为止，《几何原本》是人类历史上重印次数最多的教科书。自发明之日起，欧几里得几何学一直被人们奉为严密逻辑思考的典范，不管是在科技领域还是法律领域，不管是在心理学界还是政治界，人类生活的方方面面都在试图借鉴和奉行这套逻辑思考的方式。比如，物理学家艾萨克·牛顿爵士就在他的传世著作《自然哲学的数学原理》中运用了欧几里得的方法。在这本书中，牛顿通过几何证明的方法，推导出一套关于重力和物体运动的深刻规律，这套规律完全由他原创，并且能够很好地解释伽利略和开普勒发现的关于抛物运动和星球轨道运行的规律。著名的哲学家斯宾诺莎在他的著作《伦理学》中也使用了这套方法。在哲学史上占有一席之地的伟大著作《伦理学》，全名为《依几何次序所证之伦理学》，该书系统运用了欧几里得的几何证明方法来探讨哲学问题。在书的一开始，作者就给出了一组公理以及各种公式，然后从中产生命题、证明、推论与解释。就连美国的《独立宣言》里也有欧几里得的话语。在《独立宣言》里，托马斯·杰弗逊写道，“我们认为以下这些真理是不言自明的”，这句话正是来自欧几里得的《几何原本》。欧几里得的《几何原本》一开篇就提出了一些定义、假设和所谓“不言自明的真理”，也就是我们所说的公理。在这些定义、假设和公理的基础上，欧几里得用命题和推导建立起了他的几何学大厦。在这个系统中，每个真理都是由其他真理推导而来的，它们之间的逻辑关系绝对无懈可击。在美国的《独立宣言》中，杰弗逊也使用了类似的体系，通过他的一步步推导和雄辩，《独立宣言》的最终结论——殖民地人民有权独立自治——就像几何定理一般不容辩驳。
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也许你会觉得，把政治宣言与数学联系在一起未免有些牵强。你可能不知道，杰弗逊总统一直非常喜欢和崇拜欧几里得。1812年1月12日，杰弗逊给他的老朋友约翰·亚当斯写了一封信。当时杰弗逊已经结束了他的第二任总统任期，过起了远离公众与政治的生活。在这封信中，杰弗逊提到远离政坛给他带来的快乐：“我已经不再看报纸了，现在我每天阅读塔西佗和修昔底德的书，阅读牛顿和欧几里得的书。我觉得自己比以前快乐了很多。”
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但是，在我们敬仰欧几里得的逻辑和理性的时候，也许我们忽略了一件非常重要的事情，那就是几何学其实也有直觉和感性（而非理性）的一面。如果没有灵感和直觉，就不可能有证明，或者说，根本不会产生可供证明的定理。就像作曲或者写诗一样，几何学也需要一些“无中生有”的本事。几乎每个领域都需要灵感女神缪斯的眷顾，在艺术领域中如此，在数学天地中同样如此。
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为了详细阐述这个问题，我们来看一个小问题：如何构建一个等边三角形？所谓等边三角形，就是三边边长相等的三角形。这个游戏的规则是，给你三角形的一边，请你构建出一个等边三角形。题目给出的三角形一边（底边）是一条线段，如下图所示。
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由这个线段出发，如何构建出等边三角形的另外两边呢？如何保证另外两边的边长和底边相等？我们手头的工具只有两种，一是直尺，二是圆规。直尺的作用是什么呢？它能够辅助你画出任意长度的直线，或者用直线连接任意两个点。圆规则能够让你以任意点为圆心、以任意长度为半径画出圆形来。
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请注意，我们的直尺上没有刻度，不能用于测量长度（所以，不能用直尺去测量或复制底边的长度）。圆规也不能当量角器来用，也就是说，我们只能用圆规来画圆，而不能用它来测量角度。
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现在规则已经解释得很清楚了，你可以开始着手解答这道题目了。来吧！
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头脑停止运转了，世界静止了。这个问题到底该如何下手？
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逻辑对解答这道题，一点儿用也没有。这时候，善于解答问题的人会知道：此刻只有放松心情，抱着游戏的态度探寻，才能找到一点儿感觉和灵感。比如说，也许我们应该用直尺从线段的两个端点开始画两条斜线，就像这样：
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遗憾的是，似乎这个方法并不管用：这样确实可以构建出一个三角形，但是完全无法保证画出来的三角形是等边三角形。
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要不试试用圆规画圆？但是，在哪里画呢？是以底边线段的一个端点为圆心画圆吗？
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还是以线段中的某一点为圆心画圆？
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第二种想法与第一种想法相比更加不合理，线段上有那么多点，任选一点似乎毫无用处。
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基于上述判断，让我们还是回到第一种想法上来：继续以底边线段的一个端点为圆心画圆。