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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004198]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.4 霍奇猜想
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霍奇猜想是代数几何的一个重大的、悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。霍奇猜想属于世界七大数学难题之一。
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【问题】那么，霍奇猜想（Hodge Conjecture）是什么呢？
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【分析】
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在非奇异复射影代数簇上，任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
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20世纪的数学家们发现了研究复杂对象形状的强有力的办法。
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基本想法是：我们可以把给定对象的形状，通过简单几何块（几何块维数不断增加）粘合在一起来形成。这种技巧变得非常有用，它可以用许多不同的方式来推广，它使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时，起着巨大的促进作用。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，程序中必须加上某些没有任何几何解释的部件。
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霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
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霍奇猜想在霍奇的著述的一个结果中出现，霍奇在1930～1940年间，通过包含额外的结构丰富了德拉姆的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。
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黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题被称为21世纪七大数学难题。
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2000年5月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。目前，这一难题仍没有被破解。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004199]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.5 庞加莱猜想
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庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克菜数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
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【问题】那么，庞加莱猜想是什么呢？
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【分析】
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1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
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简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点。
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后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
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亨利·庞加莱（Henri Poincaré），法国数学家、天体力学家、数学物理学家和科学哲学家。1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。
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一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在性的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”
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对于庞加莱猜想，如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
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我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子，如图4-8所示。
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