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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004209]
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5.1.2 素描树
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为了较好模拟自然界的树模型，MATLAB软件提供了强大的绘图功能，用户只需要合理地掌握和运行绘图功能，即能运行输出用户想要的图像。编写程序输出素材大树的图像如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 M=[-0.64，0，0，0.5，0.86，0.25;… -0.04，-0.47，0.07，-0.02，0.49，0.51;… 0.2，0.33，-0.49，0.43，0.44，0.25;… 0.46，-0.25，0.41，0.36，0.25，0.57;… -0.06，0.45，-0.07，-0.11，0.59，0.1]; %生成系数矩阵M p=[0.06，0.22，0.23，0.24，0.25]; %生成几率向量 IFS_draw(M，p); %调用函数绘图 axis image; %设置坐标轴属性 set(gcf，‘Color’，‘w’); %设置背景色为白色
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相应的素描绘图程序如下：
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function IFS_draw(M，p) %迭代函数法生成分形图形的通用函数 %M是矩阵系数 %p是对应的几率 %比如M的取值是: %I a(i) b(i) c(i) d(i) e(i) f(i) %1 0.3330 0 0 0.3330 0 0 %2 0.1670 -0.2890 0.2890 0.1670 0.3330 0 %3 0.1670 0.2890 -0.2890 0.1670 0.5000 0.2890 %4 0.3330 0 0 0.3330 0.6670 0 %p的取值是： % 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500 N=30000; %迭代次数 for k=1:length(p); %生成映射矩阵a1，a2，… eval([‘a’，num2str(k)，’=reshape(M(‘，num2str(k)，’，:)，2，3);’]); end xy=zeros(2，N); %设置迭代矩阵初值 pp=meshgrid(p); %生成网格矩阵 pp=tril(pp); %取上三角矩阵 pp=sum(pp，2); %对行向量求和，从而得到几率的累加结果 for k=1:N-1; a=rand-pp; %计算随机数和几率向量的差值 d=find(a＜=0); %找出满足几率条件的位置 xy(:，k+1)=eval([‘a’，num2str(d(1))，’(:，1:2)’])*xy(:，k)+… eval([‘a’，num2str(d(1))，’(:，3)’]);%计算迭代点和映射矩阵的乘积 end P=complex(xy(1，:)，xy(2，:)); %生成复数点 plot(P，‘k.’，‘markersize’，2); %画图 axis equal; %设置坐标轴属性
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运行程序输出图形如图5-3所示。
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图5-3 素描树模拟
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同样修改参数即可得到不同风格的素描树，程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 M=[0.06，0，0，0.6，0，0;… 0.04，0，0，-0.5，0，1;… 0.46，-0.34，0.32，0.38，0，0.6;… 0.48，0.17，-0.15，0.42，0，1;… 0.43，-0.26，0.27，0.48，0，1;… 0.42，0.35，-0.36，0.31，0，0.8]; %生成系数矩阵M p=[0.1，0.1，0.1，0.23，0.23，0.24]; %生成几率向量 IFS_draw(M，p); %调用函数绘图 axis image; %设置坐标轴属性 set(gcf，‘Color’，‘w’); %设置背景色为白色
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运行程序输出图形如图5-4所示。
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图5-4 素描大树
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004210]
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5.1.3 Koch（科赫）曲线
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Koch曲线是一个数学曲线，同时也是早期被描述的一种分形曲线。它由瑞典数学家Helge von Koch在1904年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出。
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有一种Koch曲线是像雪花一样，被称为Koch雪花（或Koch星），它是由三条Koch曲线围成的等边三角形。
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设想从一个线段开始，根据下列规则构造一个Koch曲线：
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（1）三等分一条线段；
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（2）用一个等边三角形替代第一步划分三等分的中间部分；
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（3）在每一条直线上，重复第二步。
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Koch曲线是以上步骤地无限重复的极限结果。Koch曲线的长度为无穷大，因为以上的变换都是一条线段变四条线段，每一条线段的长度是上一级的1/3，因此操作n步的总长度是：若，则总长度趋于无穷。
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