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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004215]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 5.6 几何图形的线性变换
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1872年德国数学家克莱茵（F.Klein）在德国爱尔兰根大学的一次学术报告中提出，几何学的任务就是研究在一定的几何变换（这些变换组成一个群）下图形的不变性质。比如，欧几里得平面几何学里的变换是平面图形的平移、转动和轴对称，在这些变换下，长度和角度保持不变。克莱茵斯所阐述的这一著名观点被称为爱尔兰根纲领。
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一般地，如果有一种法则φ，将平面Π上每个点A对应于唯一的一个点φ（A），则φ成为平面上的变换。φ（A）称为A的像。平面上的图形由点组成，因而平面上每个变换φ将每个图形c变到某个图形φ（C），φ（C）称为C的像。
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在平面上建立了直角坐标系之后，每个点P由它的坐标（x，y）来代表，其中x，y是一对实数。平面上的变换φ将每个点P（x，y）变到点的横坐标和纵坐标都是x，y的函数：
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只要给定了两个函数f1和f2，就决定了一个几何变换φ，它将坐标为（x，y）的点变到坐标为的点。
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设平面曲线的参数方程为：
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其中，T是函数的定义域，则曲线C在变换φ下的像φ（C）的参数方程为：
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（1）图像的平移
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对于图像的平移，只需要对坐标进行加减运算，即可实现平移操作，具体的MATLAB程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %图像的平移 t = 0:0.02*pi:4*pi; x = t.*cos(t); y = t.*sin(t); z = t/4; A = [x;y;z]; %x,y,z合并于一个矩阵 v = [3;5;2]; n =size(A); for i=1:n(1,2) V(:,i)=v; end A1 = A +V; %图形的平移 figure(‘color’,[1,1,1]) %设置图形背景为白色 plot3(A(1,:),A(2,:),A(3,:),‘linewidth’,2) %绘制原始图像 hold on %图像保持句柄 plot3(A1(1,:),A1(2,:),A1(3,:),‘k:’,‘linewidth’,2) %绘制三维曲线图 grid on %网格化 legend(‘原始图像’,‘平移后的图像’)
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运行程序输出图形如图5-47所示。
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图5-47 图像的平移
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（2）图像的伸缩
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图像的伸缩是将图像沿着x、y、z分别进行拉伸和压缩，从而改变图像的形状。图像伸缩矩阵如下：
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一个三维图像中的点表示成矩阵A，进而可得到伸缩后的图像A‘：
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