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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004239]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 7.3 音乐盛宴
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唱歌的时候如果唱不上去了，我们经常会“唱低八度”，这时候虽然声音低了许多，但与原唱并不冲突，与伴奏也仍然和谐。
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【问题】为什么“八度”那么特殊呢？或者说，为什么差八度的音听着那么像呢？
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【分析】
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原来差八度的两个音其频率正好差两倍——比如中音do（钢琴正中的C，记作C4或c′）是261.6Hz，而高音do（记作C5或c″）是它的两倍523.3Hz。
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【问题】为什么频率差两倍就听起来像呢？
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【分析】
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这里需要引入陪音（upper partials）的概念。除了一些音色很纯的音（比如机器发出的正弦波）外，多数乐器演奏中除了激活原本频率的声波（基音）之外还会激活这些频率的整数倍，也就是陪音。当你按下钢琴的C4，这时空气中激荡着的不只有261.6Hz的声波，还有523.3Hz、784.9Hz和1046.5Hz等等，而这些陪音的不同强度正反映了乐器的音色。
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注意523.3Hz是C5，1046.5Hz是C6，但784.9Hz并不是一个C音，784.9Hz比较接近G5。也就是说，同一音名的两个音之间肯定有陪音的关系，但反之不成立——陪音不必须是同一音名。
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回到八度的【问题】C5本身就是C4最近的一个陪音，C5的陪音也都是C4的陪音，所以弹C5时激活的音频弹C4时也会激活（当然强度不同），两个音听起来自然就像了。
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（1）音程的协和
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协和（consonant）大致就是听起来和谐、悦耳。在实证研究中一般是给参与者同时播放两个正弦音（这种音不带陪音，只有基音），调整其间的频率间隔，然后让参与者在7点量表上评价这个音程有多悦耳、多优美、多和谐之类。
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Plomp和Levelt结合了前人和他们自己的实验结果，得到这样一条曲线来描述两个音（根音和冠音）的间隔与这个音程不协和程度的关系，如图7-12所示。
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图7-12 音程不协和程度关系图
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对照图7-12，可清楚地看出图7-13服从Gamma分布。编写程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 mu = 0:0.01:12; y = gampdf(2,3,mu); %Gamma 分布 plot(mu,y) %画图
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运行程序输出结果如图7-13所示。
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图7-13 Gamma分布
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对比图7-12和图7-13可知，音乐就是数学的组合，我们听到的各种优美的声音，如果满足一定的数学模型，肯定是悦耳的，如果我们听到的声音源，不能用数学来解释，肯定是我们无法听到的或者是刺耳的音乐。
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当考虑两个音各自陪音之间的协和程度之后，音程不协和程度曲线如图7-14所示。
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