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数学世界的探奇之旅 [:1701011744]
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数学世界的探奇之旅 第2章 史前人类的计数系统
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你觉得有没有必要数一数自己的孩子，以便确定他们是真实存在的？应该没有必要吧。同样，人类社会早期的采猎者没有大型项目或商业活动的概念，对于他们来说，数字几乎没有任何意义。但是，随着人类定居下来并开始从事贸易活动，计数和记录结果的能力变得重要起来。首先，我们可以采用阿尔伯特·爱因斯坦的方式，通过思想实验的形式来理解这个问题。假设数字还没有出现，而我们的任务是发明这些数字。我们并不确定历史上数字是如何被创造出来的，但可以推测出这个历史过程的大概情况。
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我们从计数开始。我们生活在一个高度重视数字的世界之中，因此，如果有人告诉你，计数其实并不一定需要有数字，你也许会觉得这个说法荒谬可笑。但是，事实确实如此。在研究集合论和无穷大时，我们就会遇到这种情况，因为我们经常会见到可数无穷大和不可数无穷大这样的概念，尽管两者都不指数字。我们暂且不考虑这些复杂的概念，而是集中精力了解做记号的计数方式为什么不需要借助数字。
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假设我是一名史前农民，我生活的社会没有数字。邻居向我借山羊，我答应了他。（我不知道邻居为什么要借山羊，我对山羊以及史前农民也不甚了解。）我和邻居是朋友关系，我很信任他，但在朋友归还山羊时，我仍然希望找到一个办法，可以确定他如数将山羊还给了我。因此，我把手掌张开，五指伸直。在邻居从我的羊圈里赶出第一头羊时，我把小拇指收回到手心的位置。（小拇指弯曲时，无名指往往会随着小拇指一起弯曲，因此你可能需要用另一只手协助小拇指。掰手指是一种比较低级的计数方式，但是十分方便。）第二头羊离开羊圈时，我收回无名指。就这样，当第五头羊被赶出羊圈时，我把大拇指收回来，横扣在其他手指上面。这时候，邻居觉得羊已经够了。
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几周之后，他来还山羊。当这些山羊被赶入羊圈时，我通过同样的方法，统计了山羊的数量。最终的结果一样，我知道借出去的山羊已悉数归还。（严格地说，我不知道还回来的这些山羊是不是我借出去的那些，但在这里我们不考虑这个问题。）当时，我不知道我借出了多少头山羊（我没有“多少”的概念，也没有数字的概念），但是我知道邻居没有欺骗我。事实证明，计数是一种非常有用的工具，可以帮助我们解决身边的问题。
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有证据表明，古时候，人们在采用这种计数方法时使用的工具是符木。已知最早的符木是一根有刻痕的骨头，称作伊尚戈骨，可以追溯至20 000年前。这块狒狒的腓骨（小胫骨）上刻有三组深深的刻痕，每组的和分别是60、48和60。这些符木很可能就是计数用的。它们不仅可以表示更大的数，而且计数结果可以长时间保存，因此是一种优于掰手指的计数工具。
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我们只能推测伊尚戈骨是用来计数的，但是无法找到背景资料加以确认。那些刻痕也可能是一种装饰。但我们可以确定，在距今更近的史前时代，人们使用了大量的符木标记，而且这些标记显然是用于记录的。我们可能永远无法确定符木这种无数字计数工具第一次出现的时间，但我们知道把符木作为一种常用的计数工具已经有漫长的历史了。然而，我们设想的发明数字的实验才刚刚开始，它远不像制作一根符木那样简单。
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接下来，我们设想，在把山羊借给邻居后的第二天，我女儿问我哪些山羊被借走了。但我已不记得朋友借的是哪些山羊（一段时间之后，所有山羊在我的脑海里都变成一模一样的了）。于是，我一面说“就是……”，一面掰起手指头。这已经是我能找到的最有效的记录方式了。若干天之后（在这期间，邻居又找我借了几次山羊，看来他有向邻居借东西的习惯），我突然灵光一现。每次说到借给邻居的那些山羊时，我为什么都要重复掰手指这个无聊的动作呢？只要说“一只手的山羊”，不就可以了吗？如果他需要多借一头山羊，那我怎么表示呢？“一只手加一根手指的山羊”。于是，我不知不觉就发明了数字。由于这些数字都是根据我的手指发明的，因此它们可以叫作“手指数”。
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不幸的是，史前版的我有点儿上年纪了，记忆力也衰退了。在一段时期里，由于邻居借羊的频率异常高，所以我需要通过在符木上刻痕的方式，帮助自己记住借出去了多少头羊。然而，我发现，既然“手”这个词可以用来表示一定数量的手指或者符木刻痕，那么，如果我用某个特定的刻痕或者图案来表示手，计数结果不就一目了然了吗？那样的话，我就不需要将很多刻痕转化成若干只手了。刚开始的时候，我把符木刻痕画成手指的样子：
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但是，过了一阵子之后，因为懒惰，我把这个刻痕做了简化处理，用一条横线表示大拇指，用一条竖线表示其他手指，于是这个图案就变成了一个不规则图形：
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在书写和惰性的双重作用下，这些数字逐渐形成了一套独有的符号体系。这套数字系统简单易懂，即使你之前从未使用过，也从未见过，看到下面的符号之后，你也应该能立刻说出这个数是多少：
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没错，这个数就是现代数字系统中的12。然而，现在讨论这个数还为时过早。在史前人眼中，这个数就是“手—手—手指—手指”。但也有可能是“手指—手指—手，手指—手指”，这是因为我可以利用左手的手指数出这个数包含多少只手，还可以利用右手数出余下的手指数。太棒了！我是不是已经成为一名数学高手了？暂且还算不上。但是，我已经是一名算术师了，如果真有“算术师”这个词的话。（但好像真的有这个词，因为电脑的拼写检查程序没有报错。）的确，这些内容太简单了，可能还不足以称为数学吧。但是，在讨论更复杂的情况之前，我们先看一看，到现在为止，我们到底掌握了哪些技能。
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我发明的这种符号系统是用数字表示实物，也就是说，这些数字是对现实世界中具体事物的直观表示。具体地说，在本例中，这些数字表示的是山羊的数量。对于现代人而言，既然这些直观的符号可以表示山羊，就一定可以表示玉米等其他事物。但是，我们知道，早期的准数学家在历经了一番周折之后，才艰难地完成了这个由具体到抽象的飞跃过程。事实上，数字的通用性（指数字与实物剥离，变成独立的符号。正因为数字的这个特性，我们现在不仅可以用“4”表示香肠，还可以用它表示汽车）并不是与生俱来的。
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就像数山羊这个思想实验一样，古时的乌鲁克城邦居民在学会书写之后，也经常需要考虑计数的问题。乌鲁克是最早的城市之一，在伊拉克还能看到该城遗址。公元前4000年，乌鲁克在苏美尔文明中占据核心地位，存世2 000多年。但是，乌鲁克的居民没有发明出可以表示所有事物的数字系统。他们虽然进行了一定程度的归纳，却认为有的事物与其他事物相差甚远，在表示这些事物时需要使用特殊的数字。例如，他们使用一套数字系统表示人、活的动物和干鱼（不要问我为什么），同时使用另一套数字系统表示谷物、奶酪和鲜鱼。
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但是，在应用过程中，有人不可避免地会在某些场合中突破限制，用某个事物（比如山羊）独有的计量系统表示其他事物。于是，数字逐渐具有了通用性。我之所以用大量篇幅讨论这个过程，是因为它对于回答“数字是一种真实的存在吗”这个问题具有非常重要的意义。如果事实证明数字并非真实存在，那么为什么它们可以如此好地表示现实呢？对于这个问题，美国数学家理查德·汉明说：
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抽象的整数不仅可以用于计数，而且效果非常好，这实在令我吃惊。我曾经试图向朋友们介绍我的这种心情，但是他们几乎都无法理解。6头绵羊加上7头绵羊，就有13头绵羊，6块石头加上7块石头，就有13块石头，这样的结果难道不令人吃惊吗？宇宙间竟然有像数字这样简单的抽象概念，难道不是奇迹吗？我认为，这个事实强有力地证明了数学的神奇性达到了我们难以想象的程度。我认为数学既不可思议，又难以解释。
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接着说我们的思想实验。过了一段时间，我可能会调整掰手指这种计数系统，并且使用一些有形的象征物。这些有形的象征物可能是计数石，也就是“calculi”［小卵石，“calculation”（计算）与“calculus”（微积分）即由此演变而来］，也可能是算盘珠，还可能是我们今天仍在使用的硬币。事实上，在发明数字之后不久，我肯定就需要制作出某种有形象征物。从记账这个角度看，我发明的这种书写符号没有任何问题。例如，看了这些符号，我就知道我借给邻居多少头山羊。这种记账方式是可行的，因为邻居和我是朋友，我们彼此信任。但是，如果我是一个不诚信的人，我就可以在符木上添加两条刻痕，而且看不出任何破绽。
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邻居来还山羊时，等到数完一只手的山羊之后，我会装出一副很伤心的样子说：“你只还给我一只手的山羊，还有‘手指—手指’的山羊没还呢？”同时，我会把修改过的符木拿给他看，脸上则是无辜又可怜的表情。邻居不能复制我的符木，因此他可能没有办法为自己辩解，他要么多还给我两头山羊，要么把我痛揍一顿。
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实际上，到目前为止，用“手指—手指”来表示“2”的计数方式可能已经让我不胜其烦了。因此，富有独创性的我可能会想出一些字词，用来表示介于手指与手之间的数值。经常与文字打交道的人都希望字词简短易记，同样，我也希望这些字词不要太长，所以我最后想出来的字可能是：“芬，戈，纽，喀，手”。于是，我一面适度地做出伤心的表情，一面质疑邻居：“还差戈头山羊呢！”