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数学文化教程 [:1701013701]
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数学文化教程 第一章 认识数学：我们周围的数学世界
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数学属于每一个人。
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这一章将为您提供一些数学发展的文化背景，
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分析数学文化的现状，展望数学的明天。
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数学文化教程 [:1701013702]
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数学文化教程 第一节 什么是数学
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什么是数学？每个人都有自己的看法。几十年前，有关部门曾经把大学数学系的毕业生分配到财务科去当会计，潜台词是把数学看作一种计算技能。一部分教师则说，数学是一把筛子，通过数学考试发现好学生，为上大学选拔人才服务。苏联的教育家加里宁认为，“数学是思想的体操”，可以锻炼人的思维。现代教育家的看法是，数学是基础教育的主课，公民素质的核心部分。至于数学家自己，则把数学定义为“关于现实世界数量关系和空间形式的科学”。以上的种种看法，尽管角度不同，提法相异，但都反映出数学的某种价值，有其特定的道理。
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数学是一门科学，但所研究的对象并不直接存在于现实世界。这是数学区别于其他科学的一个非常重要的特点。鲁迅说过：地上本没有路，走的人多了，也便成了路。同样，世上本来没有龙，人们只见过蛇、狮、虎、豹，因为先人的图腾想象，大家认同了，就有了约定俗成的“龙”。那么看看数学，世上原来也没有数学这个事物，没有人见过1，2，3，4。只有一个苹果、两条鱼、三只羊、四条腿。由于人们的创造，经过人的想象，才有了数字，并发展成数学。
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世上原本就有太阳、地球、原子、电子、化合物、动植物、细胞和基因。人们发现了物体运动、声光电热、化合与分解、生长与遗传等现象。当人们掌握了物质运动规律，并运用它为人类造福，这就有了物理学、化学、生物学学科。至于数学，却不直接面对某个特定的物质运动形式。世上并没有“质数”“合数”“方程式”这样的东西。哥德巴赫猜想，是人类思维的创造。
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数学和龙一样，具有巨大的威力。“龙”象征着“君权”，体现出至高无上的权威。数学则因其覆盖一切科学领域，也是君临天下，成为“科学的女王”。另一方面，威严会使人难以亲近。正如普通百姓穿不得象征皇权的龙袍一样，一般学生往往害怕抽象的数学。但是，时代在前进。如果说“龙”文化现在已经渗入到寻常百姓家，那么今日的数学文化则应伸展到学校的每一个角落。
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现在的问题是，进入21世纪之后，我们在数学观上面应该有怎样的改变呢？社会在进步，数学在发展，数学观也必然会发生变化。一个显著的事实是，数学正从幕后走到台前。数学不仅是其他学科的工具，而且是可以直接产生经济效益的技术。数学的应用已经渗入到社会的各个层面，体现在日常生活之中，甚至有可能决定国家的命运。
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翻开《中国大百科全书·数学》，吴文俊先生开宗明义地写道：数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。这是一个权威的论断，脱胎于马克思和恩格斯关于数学的概括。
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关于这个定义，人们有各种不同的理解、补充、修改。例如，钱学森在《关于思维科学》一书中，把数学和哲学并列，认为数学是在社会科学和自然科学之上的一门学问。有人对数学来源于现实世界有不同的看法。比如，“哥德巴赫猜想”来源于现实世界的哪一部分？很难说得清楚。记得1958年，武汉大学的齐民友先生写过《竹子的哲学》一文，文中认为数学的生长像竹子，根在大地，然后自己一节一节向上长，间或爆出新笋，长成新竹。若干年之后，竹子开花，枯萎而死（陈旧的数学被淘汰），却留下种子，重回大地，并另生春笋破土而出（新数学的萌芽）。这一比喻，非常形象。但在当时，它是作为反对数学来源于实践的“反面教材”发表的。更多的数学家认为，现代数学的发展，已经超出“数”和“形”的范围，应当包括结构、范畴、模型等更广的对象。不过，只要把数和形作广义的理解，大概也就可以了。
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无论如何，《中国大百科全书·数学》上的这一定义，还是目前普遍接受的关于“什么是数学”的答案。
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关于数学的特点，一般都沿用苏联亚历山大洛夫（A.D.Aleksandrov）的“三性”提法：抽象性、严谨性、广泛应用性。这一提法有合理的成分，但产生的实际效果却在很大程度上被异化了。一提数学，首先就是抽象，使数学远离人们的实际经验和日常生活，吓人一跳。其实，数学的抽象在于它的对象：形式化的思想材料。而这些材料仍然可以溯源于经验世界，不必过于强调其抽象之难。至于严谨性，和逻辑联系在一起，使数学成为一门相对精确的科学。但是，过分地强调严谨性，把数学等同于逻辑，把生动活泼的数学思想淹没在形式演绎的海洋里，实在是歪曲了数学的本质。至于“广泛应用性”，乃是抽象性的推论，几乎没有新的论述。因为数学的抽象，虽然什么都挨不上，可又什么都挨得上，于是到处都可以用数学，数学的广泛应用性也就成立了。
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这样的论述引申到中学数学教育上，便是绝口不提数学的应用。数学高考，相当长时间不涉及应用题，学生视应用题为畏途，连教师也觉得头痛。到了这一步，数学除了“思维的体操”之外，再也没有什么可谈的了。于是，数学教育变成解考题教育，数学教学的目的是通过考试，数学教师成了解题机器，解数学难题成了数学杂技。只要躲在抽象性、严谨性的口号下，什么联系实际、数学为国家建设服务、培养用数学分析和解决实际问题的能力，便统统不必过问了。
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问题出在“数学观”已经跟不上时代要求。长期以来，数学的含义只包括“纯粹数学”。《中国大百科全书·数学》中的数学定义，亚历山大洛夫的“三性”都是从纯粹数学的意义上来说的。不过，今天的数学，已经不再仅限于纯粹数学，而是渗透到社会生活的每个角落，成为能够立即转化为生产力的一门技术。每一种高科技的背后，都离不开数学的支持。电视卫星的姿态和定点控制必须用数学计算得分毫不差。数字电视主要依靠信息压缩的数学技术。头顶呼啸而过的飞机的制造和飞行，是用数学方法加以计算和控制的。与人的健康紧密相关的CT扫描，其基本原理竟是一条数学定理——拉东逆变换公式。信息时代的国家机密正是通过数论才得以在通信过程中保持安全。庞大的世界经济正在由成千上万个未知数的微分方程组进行模拟和计算。北京大学数学系毕业的王选院士用数学技术推动了“印刷革命”。
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当我们在尽情享受数学文明的时候，如何认识当今的数学呢？要说明这一点，可以在理论上展开，从社会、哲学、科学的角度详加分析。但是，这也许太复杂了。还是让我们看几段讲话吧。
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钱学森讲话
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1989年8月18日，钱学森（图1.1.1）在中国数学会“数学教育与科研”座谈会上发言，提到了“数学技术”，全文发表于《中国数学会通讯》1989年第4期。现将有关的段落摘引于此（为使语气连贯，有一些文字上的改动）：
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◀ 图1.1.1 钱学森
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“在理科、工科的实际工作中，现在不是用手算，而是用电子计算机去算，去求解。数学的基础理论有了，工程技术的具体问题在这儿，中间怎么过去？不是靠手算了，是靠电子计算机。也就是说，从自然科学的理论出发，用电子计算机能得到具体工程技术问题的解答。那么谁来做这些中间的工作呢？在美国成立了一些新学术组织，如工业数学与应用数学协会（Society of lndustrial and Applied Mathematics（SIAM）），国际工业数学和应用数学大会（International Congress of Industrial and Applied Mathematics（ICIAM））。他们都离开了老的领域，而利用计算机来工作。谢定裕教授把这称为‘数学科技’，我想不叫‘数学科技’，而叫‘数学技术’。它要求数学给一个方法，能用科学的理论通过电子计算机解答具体的科学技术问题。这包括两个方面：第一是要会用计算机，会指挥它去算；第二是对电子计算机给出的解答，通过荧光屏的显示，能够理解它，别让它给唬住了。上百年的这套老东西脱离实际太远了。今天的实际要求学生学会两条：一要会用电子计算机，二要能理解计算机给出的答案。”
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