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1701014670 数学文化教程 第三章 纯粹数学的一些基本概念
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1701014672 一般认为,纯粹数学的基础是数系:从自然数系、有理数系、实数系、复数系等一路走下去。不过,自从19世纪末康托引入集合论之后,数学更多地被看做集合,以及集合之间的对应。进一步,便是“关系”和“结构”。本章做一简单的叙述。
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1701014678 数学文化教程 第一节 集合和基数
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1701014680 在一般的教科书中,通常用描述性的“定义”来说明集合这个概念:集合是具有一定性质的事物的全体。
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1701014682 但这不是一个精确的定义。因为什么叫“事物”,什么叫“一定性质”,什么叫“全体”,其含义都没有严格界定。不过,在大多数情况下,这并不妨碍我们正确地应用“集合”这个概念及集合的性质来解决一些问题。在应用集合概念和理论的时候,我们要求集合有所谓的“一义性”:即对于任何一个事物y和任何一个集合B,“y是集合B中的一个事物”与“y不是集合B中的一个事物”,必定有一个断言而且只有一个断言是正确的。
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1701014684 如果我们用x∈A表示“x是集合A中的一个事物”,用x∉A表示“x不是集合A中的一个事物”,集合的“一义性”用数学符号表示,就是
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1701014686 y∈B,y∉B
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1701014688 中有且仅有一个表达式成立。
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1701014690 1.集合悖论
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1701014692 在一般情况下,集合的界定是很清楚的。然而在某些情况下,按上述描述性定义规定的集合概念会产生麻烦。如:
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1701014694 (1)理发师悖论
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1701014696 理发师说:他给一切“不给自己刮脸的人”刮脸。
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1701014698 初看起来,理发师的服务对象组成了一个集合B。但是在讨论理发师自己是否属于B时却出现了矛盾。理发师若不给自己刮脸,他就应该属于B,即自己也成了自己的服务对象,他就应该给自己刮脸。这样,他就属于“给自己刮脸的人”,从而他就不属于B。但是若他不属于B,即他“给自己刮脸”,他自己就不是服务对象,他就不应该给自己刮脸,因而也产生矛盾。这样,若记理发师为y,则y∈B和y∉B都不对。
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1701014700 这样的悖论还有许多。
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1701014702 (2)语义悖论
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1701014704 由于英语中的音节只有有限多个,因而英语中包含的音节数少于40个的英语表达式也只可能是有限多个。特别地,用这样的表达式能表示的正整数也只可能是有限多个。我们用B表示“能用少于40个音节的表达式表示的正整数全体所组成的集合”。设x是用少于40个音节不能表达的最小正整数,即x∉B。但是x可以用下面的英语表达式表示:
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1701014706 The least positive integer which is not denoted by an expression in the English language containing fewer than forty syllables.
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1701014708 上述表达式只含有37个音节,因而x∈B。与x∉B矛盾。
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1701014710 鉴于以上类型例子的矛盾,数学家重新研究了集合论的基础,尝试用各种方法来避免悖论。他们提出了集合论的公理系统,其作用是对作为数学研究对象的集合加上一定的限制,使之得以消除产生悖论的可能。在这些限制下,上述种种“集合”都被排除在数学研究的对象之外。当然这些限制也是非常宽松的,足够保留数学理论所有有价值的东西,足够满足数学发展的需求。在这样的公理化理论中,集合这个概念仍然不加定义,但是它的性质就由所谓的“集合公理”反映出来。而对集合论基础的研究,导致了数学的一个重要分支——“数学基础”的迅速发展。
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1701014712 2.集合的基数
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1701014714 对一个集合,我们通常会关心其包含的事物数目,即包含的元素的多少。如果集合内的元素是有限多个,此时称集合为有限集。对于有限集,我们自然用其所含元素的个数来比较它们的大小。此时,也把集合内元素的个数称为集合的基数。如果一个集合内的元素有无穷多个,我们如何来定义集合的基数呢?我们又如何来比较两个无穷集合所含元素的多少呢?
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1701014716 为此,我们先分析一下在有限集的情况下,两个集合内的元素的多少是如何比较的。
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1701014718 每一个主妇都知道,如何判断客人的数目是否和椅子的数目相同:如果每个客人坐一把椅子,而每把椅子上都坐了一个客人,不同客人坐的椅子也不同(即没有两个客人合用一把椅子),则客人数目就和椅子的数目一样多。对于两个集合A和B,我们也可以用下面类似的方法来说明它们所含元素一样多。
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