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数学文化教程 [:1701013728]
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数学文化教程 第七节 从算术到代数的考察：过河取宝还是拴线拉宝？
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从算术到代数是一次数学思维的飞跃。那么它们的本质区别在哪里？
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“含有未知数的等式叫做方程”，“代数就是文字代表数”。这是两句耳熟能详的定义，可是很值得商榷。
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要说一个定义不妥当，最简单的方法是举反例。苏轼的一首《琴诗》就是这样做的：
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若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣？
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若言声在指头上，何不于君指上听？
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这首诗很久不被人重视，有人注意了，却是一片斥责声。清代才子、文学批评家纪晓岚说：“此随手写四句，本不是诗，搜辑者强收入集。”他甚至以质问的口气说：“千古诗集，有此体否？”在纪晓岚看来，没有这种体就不是诗。其实正是因为“无此体”，才体现出苏轼的创新精神。
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回到“含有未知数的等式叫做方程”的定义。已故西南师范大学代数学家陈重穆教授，晚年注重数学教育研究。他问：x=1，x-x=0，0 · x=0，a+b=b+a，都是含未知数的等式，它们是不是方程？照上述的“定义”应该是方程，但是我们却不研究。这段话，和苏轼的《琴诗》一样，都是举反例以说明原说的不确切。陈教授还说，这样的定义不要当真，忘记了也没有关系，属于淡化范围。
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实际上，方程的本质是为了求未知数而在未知数和已知数之间建立起来的一种等式关系。也就是说，学习方程，目的是“求”未知数，方法是“拉关系”，具体策略是通过等式变换进行“还原和对消”。
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公元820年，阿拉伯数学家花拉子米（图4.7.1）写了一本《代数学》。它的阿拉伯文书名是ilm al-jabr wa l-muqabalah。西文中的algebra，即由al-jabr脱胎而来。Al-jabr的阿拉伯原文意思是“还原”，muqabalah原意是对消。因此，“代数学”的本意是“还原与对消的科学”，也就是要把淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x的本来面目。这样讲，就把“方程”说活了。这好比要想结识“朋友”，往往要借助中介关系，如此而已。
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能够把一个形式化的数学概念说明白了，就是一种数学欣赏。
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◀ 图4.7.1 花拉子米
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学习方程知识时，未知数的引入是一个难点。这需要用鲜明的例题使学习者产生认同感，在思想上感到理性精神的震撼，从而自觉地运用方程来解决问题，欣赏方程思想所带来的便捷。
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试问：代数比算术好，到底好在哪里？有多好？让我们在以下问题两种解法的对比中寻找规律：
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小明今年10岁，爸爸的年龄是他的3倍多6岁，求爸爸的年龄。
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①算术方法：爸爸年龄=3×10+6
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这是从学生的年龄10出发，一步步接近爸爸年龄，得到答案36
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②代数方法：设爸爸年龄为x，则有方程：
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（x-6）/3=10，解之得 x=36
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这是从未知的爸爸年龄x出发，寻找和已知的小明年龄的关系，根据关系解出未知的x，通过对消方法，将未知数还原出来。
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这一例子使我们看到用代数与算术解题的思维路线往往是相反的。打一个比方：如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石。那么算术方法好像摸石头过河，从我们知道的岸边开始。一步一步摸索着接近要求的目标。而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数（建立了一种关系），然后利用这跟绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。
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