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数学文化教程 [:1701013729]
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数学文化教程 第八节 宏观的变量与微观的对应：初高中两种函数定义的比较
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初中的函数定义是朴素的、宏观的。它告诉我们，世界上万物都在运动着，而且相互关联着。从某个数量的变化上看运动，便成为一个变量，而变量之间的关联，正是函数关系。到了高中，函数的定义是静态的、微观的。这时的函数，着重在一个集合的某一个元素到另一个集合中唯一确定元素的对应关系。
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初中的函数概念比较宏观，重点是解决两个变量之间的依存关系。定义中有自变量、因变量的区分，显然是动态的定义。正如恩格斯在评价笛卡儿的工作时说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。因而微分和积分的运算也就立刻成为必要的了。”
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高中的函数定义，则开始向静态转换。函数作为集合之间映射的特例，归结为“一种对应关系”，自变量、因变量统统不见了。这种定义实际上是一种微观的考察，对初中那个定义进行了抽象化、精确化的处理。
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动态的描述，体现一种文化内涵：粗略、生动，原始的思想。静态的表述，着眼于形式化、精确化。所以初中、高中的函数定义，各有千秋，二者互为表里，相得益彰，并无高低之分。
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这里可以再次运用王国维的“出入观”进行分析。可以说，宏观的函数定义相当于“出外”观之；微观的函数定义，则是入内写之，各有千秋。
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现在，有一种贬低初中的动态定义的倾向，以为只有集合对应下的函数概念，是现代的、正确的。那恐怕是一种误解。打个比方，《红楼梦》里的林黛玉和薛宝钗，都是活生生的人物典型，无所谓哪个好、哪个坏，各有各的特点，各有各的风韵。学会兼容并包地欣赏，才能把握函数概念的精髓。
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事实上，极限也有两种定义：一种是动态的，变化的，例如“孤帆远影碧空尽”之类的直观、原始、动态的意境；另一种是ε-δ语言（参见第五章第二节），变量动态统统不见了，剩下冰冷的形式化表述。这两种极限表述，也是各有千秋、互为表里，不能说哪一个好、哪一个差。
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如果我们要考察函数的变化趋势，那么我们多从宏观的角度进行考察：一次函数表示直线，二次函数的图像是抛物线；三角函数是周期变化的，指数函数则是急剧式地变化，人称“指数爆炸”；至于对数函数，则是缓慢上升的例子，比y=x的直线还慢。这里，我们无需“对应”关系来帮忙，只需宏观地观察数量的动态变化趋势就行了。
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但是，科学研究除了要宏观地考察之外，还要深入地、精细地观察每一个细节，微观地考察事物。正如物理学既要考察天体的宏观运动，也要考察原子内部的电子结构一样。高中的函数概念，更注意每一个自变量x和因变量y之间的对应关系。以分段函数为例，我们不仅看它的一般变化趋势，还特别关注端点处所对应的函数值：究竟取值为常数的一段，是否包括左端点或右端点？这就是比较微观的刻画了。
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著名的狄利克雷函数是指定义在[0，1]上的如下函数：
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这样的函数，只靠宏观描述是难以奏效的，只有微观地静态描述才显示出数学的精确性。
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宏观与微观，实际上是人们常常运用的视角。管理工厂，既要观察未来市场发展的大局，又要考虑每一道工序的微小细节。在艺术上，既要有宏观的高超意境，还必须注意具体的细节处理。绘画上有泼墨画，讲究的是整体的宏观意境；而工笔画则是微细的笔墨刻画，连花鸟上的叶脉和羽毛，都画得一清二楚。
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数学思想，其实和人们的思维方法是相通的，只是更精确、更理性而已。
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古代诗人王籍在他的《入若耶溪》中提到：蝉噪林逾静，鸟鸣山更幽。为什么蝉鸣让人觉得林子更安静呢？鸟鸣显得山更幽静呢？其实这里的写作手法是反衬。动态反衬静态，函数的两种定义互相补充，在意境上是相通的。
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数学文化教程 第九节 四维时空和n维空间——从陈子昂的《登幽州台赋》说起
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初唐诗人陈子昂的诗云：
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前不见古人，后不见来者。
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念天地之悠悠，独怆然而涕下。
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这是古人对时间和空间看法的文学表述。他的时空观，就是欧几里得几何的时空观，也是今天人们普遍持有的朴素时空观。
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陈子昂作为一个思古想今、展望大地的学者，感叹天地之宏大、时间之遥远，觉人生之短暂、视野之狭隘，遂有上述的诗意。从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间）。陈老先生以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，在数学家和文学家之间是可以彼此相通的。
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