1701015715
数学文化教程 [:1701013730]
1701015716
数学文化教程 第九节 四维时空和n维空间——从陈子昂的《登幽州台赋》说起
1701015717
1701015718
初唐诗人陈子昂的诗云：
1701015719
1701015720
前不见古人，后不见来者。
1701015721
1701015722
念天地之悠悠，独怆然而涕下。
1701015723
1701015724
这是古人对时间和空间看法的文学表述。他的时空观，就是欧几里得几何的时空观，也是今天人们普遍持有的朴素时空观。
1701015725
1701015726
陈子昂作为一个思古想今、展望大地的学者，感叹天地之宏大、时间之遥远，觉人生之短暂、视野之狭隘，遂有上述的诗意。从数学上看来，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间）。陈老先生以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大，后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，在数学家和文学家之间是可以彼此相通的。
1701015727
1701015728
今天，我们的几何学——欧几里得几何学，正是在这样的时空观下讨论的：时间的模型，就是一条直线，两端无限，中间连绵不断。子在川上曰：“逝者如斯夫，不舍昼夜”。我们从整数、有理数到实数，填满整条直线。实数系的连续性，正是时间连续性的数学写照。同样，数直线也是一维空间连续性的数学模型。牛顿力学，也就在一维时间、三维空间的框架下展开，形成了17世纪科学革命的标志。
1701015729
1701015730
时间和空间的研究远没有就此完结。20世纪初，爱因斯坦发表相对论，认为时间和空间不能分割，我们生活在一个弯曲的四维时空之中。相对论导致了物理学的革命，成为20世纪以来科学进步的突出标志。抚今追昔，我们更觉得陈子昂的这首古诗意境的深远与博大。
1701015731
1701015732
沿着四维空间往前走，就出现了n维空间。以最简单的n维线性空间来说，已经深入到日常生活之中。
1701015733
1701015734
德国数学家格拉斯曼于1844年引入了n维向量的概念。仿效平面向量和空间向量的记法，我们将一个n维向量A定义为一个n维的数组（a1，a2，…，an）。两个n维向量的相加是n个坐标分别相加后得到的有序数组，向量A和数λ相乘，就是λ和A的每一个坐标分别相乘后缩成的有序数组。向量的数量积也可以推广到n维情形。
1701015735
1701015736
n维向量组成的空间叫做n维线性空间。我们在第七章还会详细讨论。
1701015737
1701015738
n维向量非常直观，几何意义很明显。即使是数量积，也非常直观。到商场购物，n种物品的价格向量P（p1，p2，…，pn），与购物的数量向量B=（b1，b2，…，bn）的作数量积，就是付款数：
1701015739
1701015740
A=p1b1+p2b2+…+pnbn.
1701015741
1701015742
因此，所谓n维向量的数量积，其实就在我们身边。
1701015743
1701015744
数学上，把有限个但比较多的数目用n表示。例如n个数a1，a2，…，an组成的数列，用符号写出来是{ai}，i=1，2，…，n。n维向量的表示也是出于这样的考虑。
1701015745
1701015746
令人不可思议的是，“n”个成为当今的一个流行语。今天，我们看到网上的流行语是“我有n个选择”、“我有n个理由”、“房价上涨有n个因素”，等等。数学符号进入了自然语言，成了一抹亮色。
1701015747
1701015748
1701015749
1701015750
1701015751
数学文化教程 [:1701013731]
1701015752
数学文化教程 第十节 识以领之，方能中鹄——兼谈麻将为什么不能产生概率论
1701015753
1701015754
常常听说概率论产生于文艺复兴时期欧洲的赌博。赌博是游戏的滥用。中国的麻将是大众娱乐的游戏，也有用之于赌博的。麻将风之盛，可说世界上无出其右。四川某大学的朋友笑说，敝校玩麻将通宵达旦，堪称“麻”省理工学院。
1701015755
1701015756
麻将游戏里有大量的概率问题。麻将“和”了，算番数，自然是发生可能性大的“番数”小，难以做成的牌，因其发生的可能性小，得以获得高的番数。一副“清一色加一条龙”的大牌，难得一见，于是给以特别高的番数。事实上，无论是洗牌、码牌、抓牌、打牌、听牌、和牌，都由于各种机会出现的可能性不同而涉及概率。但是，一般的麻将玩友，理论上的认识也就到此为止，麻将高手也只在实际运用时水平较高而已。
1701015757
1701015758
那么，为什么欧洲的赌博能够产生概率论呢？让我们先看一个古典的数学问题。2002年，国际数学家大会在北京召开。中央电视台10频道举办一些有关数学的栏目进行宣传。在节目上，已故数理经济学家史树中教授，向演播室的观众提了如下的问题：
1701015759
1701015760
有一笔赌金，甲、乙两人竞赌，输赢的概率各为1/2，以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中，因故突然中止。此时，甲赢了4局，乙赢了3局。问这笔赌金该如何分配才合理？
1701015761
1701015762
随机地邀请几位观众进行回答，结果都说，按照这笔赌金的4/7和3/7进行分割比较合理。
1701015763
1701015764
