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数学文化教程 第九节 四维时空和n维空间——从陈子昂的《登幽州台赋》说起
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初唐诗人陈子昂的诗云:
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前不见古人,后不见来者。
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念天地之悠悠,独怆然而涕下。
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这是古人对时间和空间看法的文学表述。他的时空观,就是欧几里得几何的时空观,也是今天人们普遍持有的朴素时空观。
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陈子昂作为一个思古想今、展望大地的学者,感叹天地之宏大、时间之遥远,觉人生之短暂、视野之狭隘,遂有上述的诗意。从数学上看来,这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线(一维空间)。陈老先生以自己为原点,前不见古人指时间可以延伸到负无穷大,后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间:天是平面,地是平面,悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考,感到自然之伟大,产生了敬畏之心,以至怆然涕下。这样的意境,在数学家和文学家之间是可以彼此相通的。
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今天,我们的几何学——欧几里得几何学,正是在这样的时空观下讨论的:时间的模型,就是一条直线,两端无限,中间连绵不断。子在川上曰:“逝者如斯夫,不舍昼夜”。我们从整数、有理数到实数,填满整条直线。实数系的连续性,正是时间连续性的数学写照。同样,数直线也是一维空间连续性的数学模型。牛顿力学,也就在一维时间、三维空间的框架下展开,形成了17世纪科学革命的标志。
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时间和空间的研究远没有就此完结。20世纪初,爱因斯坦发表相对论,认为时间和空间不能分割,我们生活在一个弯曲的四维时空之中。相对论导致了物理学的革命,成为20世纪以来科学进步的突出标志。抚今追昔,我们更觉得陈子昂的这首古诗意境的深远与博大。
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沿着四维空间往前走,就出现了n维空间。以最简单的n维线性空间来说,已经深入到日常生活之中。
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德国数学家格拉斯曼于1844年引入了n维向量的概念。仿效平面向量和空间向量的记法,我们将一个n维向量A定义为一个n维的数组(a1,a2,…,an)。两个n维向量的相加是n个坐标分别相加后得到的有序数组,向量A和数λ相乘,就是λ和A的每一个坐标分别相乘后缩成的有序数组。向量的数量积也可以推广到n维情形。
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n维向量组成的空间叫做n维线性空间。我们在第七章还会详细讨论。
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n维向量非常直观,几何意义很明显。即使是数量积,也非常直观。到商场购物,n种物品的价格向量P(p1,p2,…,pn),与购物的数量向量B=(b1,b2,…,bn)的作数量积,就是付款数:
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A=p1b1+p2b2+…+pnbn.
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因此,所谓n维向量的数量积,其实就在我们身边。
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数学上,把有限个但比较多的数目用n表示。例如n个数a1,a2,…,an组成的数列,用符号写出来是{ai},i=1,2,…,n。n维向量的表示也是出于这样的考虑。
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令人不可思议的是,“n”个成为当今的一个流行语。今天,我们看到网上的流行语是“我有n个选择”、“我有n个理由”、“房价上涨有n个因素”,等等。数学符号进入了自然语言,成了一抹亮色。
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数学文化教程 第十节 识以领之,方能中鹄——兼谈麻将为什么不能产生概率论
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常常听说概率论产生于文艺复兴时期欧洲的赌博。赌博是游戏的滥用。中国的麻将是大众娱乐的游戏,也有用之于赌博的。麻将风之盛,可说世界上无出其右。四川某大学的朋友笑说,敝校玩麻将通宵达旦,堪称“麻”省理工学院。
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麻将游戏里有大量的概率问题。麻将“和”了,算番数,自然是发生可能性大的“番数”小,难以做成的牌,因其发生的可能性小,得以获得高的番数。一副“清一色加一条龙”的大牌,难得一见,于是给以特别高的番数。事实上,无论是洗牌、码牌、抓牌、打牌、听牌、和牌,都由于各种机会出现的可能性不同而涉及概率。但是,一般的麻将玩友,理论上的认识也就到此为止,麻将高手也只在实际运用时水平较高而已。
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那么,为什么欧洲的赌博能够产生概率论呢?让我们先看一个古典的数学问题。2002年,国际数学家大会在北京召开。中央电视台10频道举办一些有关数学的栏目进行宣传。在节目上,已故数理经济学家史树中教授,向演播室的观众提了如下的问题:
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有一笔赌金,甲、乙两人竞赌,输赢的概率各为1/2,以先累计达到5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中,因故突然中止。此时,甲赢了4局,乙赢了3局。问这笔赌金该如何分配才合理?
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随机地邀请几位观众进行回答,结果都说,按照这笔赌金的4/7和3/7进行分割比较合理。
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