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数学文化教程 [:1701013737]
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数学文化教程 第五节 微分之比，“局部”为本
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中学里的函数概念告诉我们，当自变量x变化时，因变量函数f（x）也随着变化。如果问，x变化之后，函数值变化得快不快？如何计算？这就是微分学的任务。
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所谓函数y=f（x）在一点a的导数f′（a），乃是两个无穷小量之比的极限。用数学符号写为，
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其中x是点a附近任意取的一点，自变量的变化是Δx=x-a，由此变化所引起的函数值的变化是Δy=f （x）-f （a），比值
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是函数f（x）当x变化时，所引起函数值的相对变化率。当Δx→0时，也有Δy→0。这两个无穷小量之比的极限，表示f（x）在一点a处的局部变化率。局部变化率大，表示变化剧烈；局部变化率小，表示变化缓慢。局部变化率为0，就是稳定不变。
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我们将围绕“微分”和“导数”的概念，开始“寻美”之旅。
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切线，是人类的直觉可以触及的。比如，说“旋转雨伞时，雨滴沿着雨伞的切线方向飞去”，“铅球沿着人体运动曲线的切线方向甩了出去”，大家都能明白，理解大体的意思。可是一旦问究竟什么是“切线”？却说不清楚了。人的强大直觉能力，使“切线”概念容易意会，但难以言传。
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于是，请“极限”来帮忙，“曲线在一点处的切线是过该点割线的极限位置”（图5.5.1）。意会的对象，就可以言传了。
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函数y=f（x）可以看作是坐标平面上的一条曲线。不难理解，式（5.5.2）中给出的是f（x）在a点处的一条割线的斜率；而式（5.5.1）所定义的f（x）在a点处的导数f′（a）则正是曲线f（x）在a点处切线的斜率。如果一点处的导数绝对值很大，则表示切线很陡；如果导数绝对值很小，则表示切线很平。
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我们再一次用切线斜率的变化来看抛物线y=x2的性质。中学里已经用许多方法研究过。今天我们将从切线的变化，以全新的视角加以考察。
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如第二章图2.4.2所示，当-∞＜x＜0时，抛物线左边的切线斜率都是负的，函数单调下降；当x=0时，函数达到最小值，该处的切线斜率等于0；当0＜x＜+∞时，函数单调增加，切线斜率则都是正的。
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▲ 图5.5.1 曲线在一点处的切线 5.5.1
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因此，我们能够明白：如果把函数图像的各点处切线斜率都求出来然后观察切线斜率的变化，就能知道函数的性质（包括单调性、极大极小值点等）。这将是别开生面的创新。读者一定已经从这个简单的例子中，隐隐约约地感受了微积分带来的震撼。
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数学文化教程 第六节 局部思考超越“飞矢不动”——考察瞬时速度
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局部与整体，是一对哲学范畴。要了解微积分，还真需要一点哲学思考。事实上，理解函数的局部性态并与函数的整体性质相联系，乃是领悟微积分思想方法精髓的重要一环。
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整体微分几何的奠基者、数学大师陈省身说过：“微分几何本来是从研究局部性质开始的，到了20世纪40年代趋向整体是一个自然的趋势。在了解了局部性质以后，自然想知道他们的整体性质的含义。令人意想不到的是，有整体意义的几何现象在局部上也特别美妙。”[1]
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这是局部与整体数学观念的一个深刻的概括。
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微积分的基本概念是极限。极限，正是为处理局部才生成的。