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数学文化教程 第六节 局部思考超越“飞矢不动”——考察瞬时速度
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局部与整体，是一对哲学范畴。要了解微积分，还真需要一点哲学思考。事实上，理解函数的局部性态并与函数的整体性质相联系，乃是领悟微积分思想方法精髓的重要一环。
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整体微分几何的奠基者、数学大师陈省身说过：“微分几何本来是从研究局部性质开始的，到了20世纪40年代趋向整体是一个自然的趋势。在了解了局部性质以后，自然想知道他们的整体性质的含义。令人意想不到的是，有整体意义的几何现象在局部上也特别美妙。”[1]
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这是局部与整体数学观念的一个深刻的概括。
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微积分的基本概念是极限。极限，正是为处理局部才生成的。
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前已提及，切线问题是微分学的几何模型。想要在一条曲线的某一点P画出该点上的切线，只凭这一点所在的位置是画不出来的。我们必须在点P的附近取一点Q，作割线PQ，然后让Q无限接近于P，割线PQ的极限位置就是切线。这里我们用到“附近”一词。所谓P的附近，是指不同于P，但与P的距离可以无限小的那些点。“附近”、“邻域”、“周围”等词所指的局部，有一些朦胧的含义。附近，有多近？邻域，相邻多远？都不固定，小大由之，及至无限小。局部没有大小可言，正是“局部”的哲学意味所在。
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“局部”的思想，其实并不神秘，在日常生活里也有类似的观念。科学地看待事物，就会注意到事物的单元并非一个个的孤立的点，而是一个有内涵的局部。人体由细胞构成，物体由分子构成。社会由小的局部——家庭构成。所以，我们的户口以家庭为单位。由于中国社会也可以看作由许多乡镇构成，所以费孝通的“江村调查”，以解剖一个乡村观察整体，成为中国社会学的经典之作。
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如何考察一个人？孤立地考察一个人是不行的。看人，要问他/她的身世、家庭、学历、社会关系等。但是，考察一个人的周围关系，其范围要多大？并不一定，也是小大由之。一个人的成长，大的局部可以是社会变动、乡土文化、学校影响，小的可以是某老师、某熟人，再小些仅限父母家庭，各人的环境是不同的。这和数学上的“局部”一样，也具有模糊、朦胧的特性。
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让我们再来看微积分的力学模型：“瞬时速度”。
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（1）快慢是人的天性能够感悟的。在父母“慢慢走”、“快快跑”的关怀语中，小孩已经感受了“快慢”。小说中形容瞬间的变化，常用“迅雷不及掩耳”、“说时迟，那时快”、“一跃而上”、“一闪而过”等加以描述。这些说明，人们具有朴素的“瞬间快慢”（或速度）观念。那么何谓快慢？刘翔110米栏的12.88秒成绩，表示了他的平均速度为110米/12.88秒=8.54米/秒。但是，人们还要研究刘翔起跑的瞬间速度和撞线那一瞬间的速度。平均速度和瞬时速度是不一样的。
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瞬时的“快慢”（或速度）也是人们的直觉经常可以感受的。比如，一辆快车从后面赶上慢车的那一刹那，当然是快车的速度比较快。
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一个没有学过微积分的汽车驾驶员，并不知道有平均速度和瞬时速度的区别。但是，当他看到“限速120公里”的标志，却能自然地理解为瞬时限速。他面对的速度表盘，显示的也是瞬时速度。
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《辞海》中“速度”一条的解释是：
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描写物体位置变化的快慢和方向的物理量。物体的位移和时间之比，成为这段时间内的平均速度。如果这一时间极短（趋向于0），这一比值的极限就被称为物体在该时刻的速度，亦称“瞬时速度”。
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这就是说，速度就是瞬时速度。人是先有瞬时速度的直觉，再有微积分的解释。我们的任务是把它严格地描述出来，使得瞬时速度既可意会，也可言传。
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（2）把直觉的瞬时速度，化为可以言传的瞬时速度，需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。
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让我们再次重复古希腊哲学家芝诺和他的学生的对话：
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“一支射出的箭是动的还是不动的？”
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“那还用说，当然是动的。”
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“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
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“不动的，老师。”
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“这一瞬间是不动的，那么在其他瞬间呢？”
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“也是不动的，老师。”
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“所以，射出去的箭是不动的。”
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中国战国时代“名辩”思潮中的思想巨子惠施（约前370—约前310）提出“飞鸟之景，未尝动也”。这句话的意思是说天空中飞着的鸟实际上是不动的，和芝诺的观点如出一辙。
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