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1701016179 数学文化教程 第六节 局部思考超越“飞矢不动”——考察瞬时速度
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1701016181 局部与整体,是一对哲学范畴。要了解微积分,还真需要一点哲学思考。事实上,理解函数的局部性态并与函数的整体性质相联系,乃是领悟微积分思想方法精髓的重要一环。
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1701016183 整体微分几何的奠基者、数学大师陈省身说过:“微分几何本来是从研究局部性质开始的,到了20世纪40年代趋向整体是一个自然的趋势。在了解了局部性质以后,自然想知道他们的整体性质的含义。令人意想不到的是,有整体意义的几何现象在局部上也特别美妙。”[1]
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1701016185 这是局部与整体数学观念的一个深刻的概括。
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1701016187 微积分的基本概念是极限。极限,正是为处理局部才生成的。
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1701016189 前已提及,切线问题是微分学的几何模型。想要在一条曲线的某一点P画出该点上的切线,只凭这一点所在的位置是画不出来的。我们必须在点P的附近取一点Q,作割线PQ,然后让Q无限接近于P,割线PQ的极限位置就是切线。这里我们用到“附近”一词。所谓P的附近,是指不同于P,但与P的距离可以无限小的那些点。“附近”、“邻域”、“周围”等词所指的局部,有一些朦胧的含义。附近,有多近?邻域,相邻多远?都不固定,小大由之,及至无限小。局部没有大小可言,正是“局部”的哲学意味所在。
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1701016191 “局部”的思想,其实并不神秘,在日常生活里也有类似的观念。科学地看待事物,就会注意到事物的单元并非一个个的孤立的点,而是一个有内涵的局部。人体由细胞构成,物体由分子构成。社会由小的局部——家庭构成。所以,我们的户口以家庭为单位。由于中国社会也可以看作由许多乡镇构成,所以费孝通的“江村调查”,以解剖一个乡村观察整体,成为中国社会学的经典之作。
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1701016193 如何考察一个人?孤立地考察一个人是不行的。看人,要问他/她的身世、家庭、学历、社会关系等。但是,考察一个人的周围关系,其范围要多大?并不一定,也是小大由之。一个人的成长,大的局部可以是社会变动、乡土文化、学校影响,小的可以是某老师、某熟人,再小些仅限父母家庭,各人的环境是不同的。这和数学上的“局部”一样,也具有模糊、朦胧的特性。
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1701016195 让我们再来看微积分的力学模型:“瞬时速度”。
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1701016197 (1)快慢是人的天性能够感悟的。在父母“慢慢走”、“快快跑”的关怀语中,小孩已经感受了“快慢”。小说中形容瞬间的变化,常用“迅雷不及掩耳”、“说时迟,那时快”、“一跃而上”、“一闪而过”等加以描述。这些说明,人们具有朴素的“瞬间快慢”(或速度)观念。那么何谓快慢?刘翔110米栏的12.88秒成绩,表示了他的平均速度为110米/12.88秒=8.54米/秒。但是,人们还要研究刘翔起跑的瞬间速度和撞线那一瞬间的速度。平均速度和瞬时速度是不一样的。
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1701016199 瞬时的“快慢”(或速度)也是人们的直觉经常可以感受的。比如,一辆快车从后面赶上慢车的那一刹那,当然是快车的速度比较快。
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1701016201 一个没有学过微积分的汽车驾驶员,并不知道有平均速度和瞬时速度的区别。但是,当他看到“限速120公里”的标志,却能自然地理解为瞬时限速。他面对的速度表盘,显示的也是瞬时速度。
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1701016203 《辞海》中“速度”一条的解释是:
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1701016205 描写物体位置变化的快慢和方向的物理量。物体的位移和时间之比,成为这段时间内的平均速度。如果这一时间极短(趋向于0),这一比值的极限就被称为物体在该时刻的速度,亦称“瞬时速度”。
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1701016207 这就是说,速度就是瞬时速度。人是先有瞬时速度的直觉,再有微积分的解释。我们的任务是把它严格地描述出来,使得瞬时速度既可意会,也可言传。
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1701016209 (2)把直觉的瞬时速度,化为可以言传的瞬时速度,需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。
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1701016211 让我们再次重复古希腊哲学家芝诺和他的学生的对话:
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1701016213 “一支射出的箭是动的还是不动的?”
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1701016215 “那还用说,当然是动的。”
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1701016217 “那么,在这一瞬间里,这支箭是动的,还是不动的?”
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1701016219 “不动的,老师。”
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1701016221 “这一瞬间是不动的,那么在其他瞬间呢?”
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1701016223 “也是不动的,老师。”
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1701016225 “所以,射出去的箭是不动的。”
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1701016227 中国战国时代“名辩”思潮中的思想巨子惠施(约前370—约前310)提出“飞鸟之景,未尝动也”。这句话的意思是说天空中飞着的鸟实际上是不动的,和芝诺的观点如出一辙。
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