1701017552
数学文化教程 [:1701013756]
1701017553
数学文化教程 第三节 超市里的向量和矩阵
1701017554
1701017555
本节介绍n维向量和矩阵的一个实际运用。
1701017556
1701017557
当我们在超市里消费的时候会发现，那里收银员的记账、算账方式比传统商店的营业员简单、利索、准确得多，这一切要归功于计算机管理和科学的数学工具。
1701017558
1701017559
（1）n维向量 我们把n个有序的数据 a1 ，a2 ，…，an 称作一个n维向量，记作：
1701017560
1701017561
a=(a1,a2,…,an )
1701017562
1701017563
这样的n维向量，我们随处可见，并不陌生。例如，你的每月工资单：
1701017564
1701017565
1701017566
1701017567
1701017568
可看作是一个6维向量。所谓“有序”，是指每个位置都有特殊的意义，不可随意颠倒。
1701017569
1701017570
向量的好处是表述简单，运算方便。例如，它们可以作加减运算，即把它们的对应项相加（减）：
1701017571
1701017572
若a=（a1，a2，…，an ），b=（b1，b2，…，bn ），则
1701017573
1701017574
a+b=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn ).
1701017575
1701017576
一个企业的财务科，需要把每个员工的“工资向量”保存在计算机里。于是，要统计全体员工的工资总额、奖金总额、书报费总额等，只需将各人的工资向量统统加起来，就一清二楚了。
1701017577
1701017578
向量不仅可以相加，还可以相乘。现在来看一个超市里买东西的情形。为了简单起见，不妨假设超市里只有5种商品：蛋、糖、奶粉、藕粉和香肠。给它们编上号码，依次为1号、2号、3号、4号和5号。于是，每一笔生意都关联了两个5维向量：购货量向量a=（a1，a2，…，a5）和价格向量b=（b1 ，b2 ，…，b5 ），其中ai表示顾客购买第i号货物的数量，bj表示第j号货物的单价（i，j=1，2，3，4，5）。
1701017579
1701017580
如果一位顾客买了4斤蛋、1斤糖和10斤藕粉。于是就得到其购货向量：
1701017581
1701017582
a=(4,1,0,10,0)
1701017583
1701017584
假设5种商品的价格表如下（按20世纪80年代的价格）：
1701017585
1701017586
1701017587
1701017588
1701017589
则有价格向量b=（1，0.7，3，0.2，4）。顾客的应付款是
1701017590
1701017591
4×1+1×0.7+0×3+10×0.2+0×4
1701017592
1701017593
=4+0.7+2=6.70（元）。
1701017594
1701017595
以上运算被称为购货向量a和价格向量b的数量积，记作
1701017596
1701017597
ab=(4,1,0,10,0)·(1,0,7,3,0,2,4)=6.7.
1701017598
1701017599
对于超市来说，不仅每一笔生意是一个向量，商品的价格、店中货物的库存量、每日销售总量等，也都是向量。一个大型超市有数千种商品，成万笔生意，因此需要考虑成万个数千维的向量，人工记录和计算工作量很大，也容易出错。但所有这一切都可以交由计算机去执行，这就是计算机管理。其实这里用到的最基本的数学工具就是向量的运算！
1701017600
1701017601
从上面的例题和法则可见，两个同样维数的向量才能进行加减和数量积运算；两个向量加减的结果是一个向量，两个向量的数量积是一个数。