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1701017709 数学文化教程 [:1701013758]

1701017710 数学文化教程第五节分形几何

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1701017712 如今，在各种出版物的封面和插页里，经常看到用计算机构造出来的美丽图形：分形。经过30多年的发展，分形不仅成为一门严肃的数学分支，被许多数学家深入研究；而且是一门艺术，赢得无数艺术家的青睐。此外，它还是图像压缩、信息传输的工具，甚至可以成为一种上帝创造的指纹，在鉴定特定的地质纪元、矿脉类型及其含量的研究中可以发挥作用。

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1701017714 7.5.1 维数：从整数到分数

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1701017716 欧几里得几何、黎曼几何、非欧几何等研究的对象是直线、圆、平面、锥面、球体等，这些都是从客观世界中抽象出来的几何对象。它们分别是一维、二维、三维的几何图形。分形理论创始人是美籍法国数学家曼德勃罗（Benoît B.Mandelbrot，1924—2010，图7.5.1）。他生于波兰华沙一个立陶宛犹太人之家，其父是成衣批发商，母亲是牙科医生；1936年全家移居法国巴黎。他的叔叔索列姆·曼德勃罗（Szolem Mandelbrot 1899—1983），是杰出的纯数学家和复分析专家。在叔叔的影响下，曼德勃罗从小就喜爱数学。他于1947年毕业于著名的巴黎多科理工学校。然后去美国，于1948年即获美国加利福尼亚理工学院硕士学位；1952年获巴黎大学哲学（数学）博士学位。1958年定居美国。

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1701017718 1973年，曼德勃罗在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（fractal）一词，原意指那些不规则、支离破碎等意义上的图形。事实上，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等，它们的共同的特点是：表面上极不规则或极不光滑，却内涵某种特定的结构。研究物体的分形结构的几何学称为分形几何。

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1701017723 ◀ 图7.5.1 曼德勃罗

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1701017725 分形几何与传统几何相比有以下两个特点。首先从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。其次，在不同尺度的局部上看，其局部形状又和整体形态相似，即它们从整体到局部，都是自相似的。

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1701017727 7.5.2 分形的例子

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1701017729 （1）康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔（G.Cantor）构造了一个“怪异的”集合，其构造过程为：将区间[0，1]等分为三，去掉中间的一段；将左右两段再分别一分为三，去掉各自中间一小段……如此不断地重复下去，其余下部分的极限即为康托尔三分集，如图7.5.2所示。

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1701017731 粗略地看，康托尔三分集是实数集合[0，1]上非常疏朗的集合，可说千疮百孔，几乎没有剩下多少实数了。但是它还是留下了许多实数。可以想象，这个集合的维数大概比1要小，但还不是0。事实上，它是一个分形。

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1701017733 康托尔三分集是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写；尤其值得关注的是，用传统的几何学术语很难加以描述。它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是一个简单方程的解集。可以说，它是一种新的几何对象。

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1701017738 ▲ 图7.5.2 康托尔三分集的构造过程

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1701017740 （2）科赫雪花瑞典人科赫（Koch）于1904年提出了著名的“雪花”曲线，其作法和康托尔三分集的构造，可说是异曲同工：它从一个正三角形开始，把每条边分成三等份；然后以各边的中间长度为底边，分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边；再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段……反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线有着极不寻常的特性：不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大。曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（没有确定的切线方向）。该曲线长度无限，却包围着有限的面积。如图7.5.3所示。可以想象，科赫曲线密密麻麻地缠绕在一起，其维数大概会大于1，但不到2。

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1701017742 （3）谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵将一个正方形等分成9个小正方形，去掉中间一个；对其余8个重复上述过程……即得谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯，如图7.5.4所示。将一个正方体等分成27个小正方体，将不在大正方体棱边上的7个去掉，对余下20个重复上述过程，即得谢尔宾斯基海绵，如图7.5.5所示。

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