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数学文化教程 [:1701013768]
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数学文化教程 第二节 破解拓扑学世纪之谜：庞加莱猜想的证明历程
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进入21世纪，纯粹数学的一个重大突破是庞加莱猜想的证明。俄罗斯学者佩雷尔曼的天才创意和拒绝领奖的传奇故事，令人叹服。一批华人学者参与了最后的论证，值得称道。
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1.庞加莱关于“拓扑学”的天才创见
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1904年，法国人庞加莱，当时唯一能与希尔伯特匹敌的伟大数学家，发表了以《位置分析》为题目的论文，标志着拓扑学的诞生，并在此后的百年中占据纯粹数学的中心舞台。
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如前所说拓扑学（topology）又被称为“橡皮几何学”，它研究几何图形在经过放大、缩小或扭曲变形后仍然能够保持的那些整体性质。
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庞加莱在他的开创性论文中，提出了这样一个问题：
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一个闭的三维几何图形，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑上来看，这个图形是否一定是球面？
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这就是著名的庞加莱猜想，在整个20世纪，经受了数学家们整整100年的轮番冲击。
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拓扑学的三维球面应该是什么样子？人们很难想象。因为它只存在于四维或更高维的空间中，而现实空间只有长宽高三维。但是，如果增加时间这一维，我们还是能够大致描绘它的图形。想象一个二维球面，其半径R随着时间t变化：t=0时，R=0；接着R随t一起增大；当t=1，R=1，达到最大；接着R随t增大而减小；当t=2时，R=0（图9.2.1）。这样在时空坐标系中，就会出现一个三维球面的图形，其代数方程式是
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x2+y2+z2 ==1-(t-1)2.
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2.只剩下“三维”情形的硬骨头
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令人惊奇的是，对于三维以上的几何图形来说，相应的庞加莱猜想陆续得到证明。只剩下原始的三维情形，困扰着世纪之交的数学家们。
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1960年，美国数学家斯梅尔（Stephen Smale，1930—）一下子证明了五维及以上维数图形的广义庞加莱猜想，他因此获得了1966年菲尔兹奖章。
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1982年，当时还只是一名研究生的英国数学家唐纳德森（Simon K.Donaldson，1957—），利用物理学的杨-米尔斯方程，发现了四维空间能够具有不同于欧几里得空间的微分结构。同年，美国数学家弗里德曼（Michael H.Freedman，1951—）利用唐纳德森的结果，证明了四维图形的庞加莱猜想。唐纳德森与弗里德曼因此同获1986年菲尔兹奖章。
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于是，只有三维图形的（即原始的）庞加莱猜想尚未被证明。因为这种维数的情况最为复杂，（想一想现实的三维世界是多么丰富多彩！）使得图形的拓扑分类变得极其困难。当然，并非没有任何进展，只是路途还很漫长。
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美国几何学家瑟斯顿（William P.Thurston，1946—）对于三维图形具有超强的直观能力。1978年，他提出了“所有的三维空间（即几何图形）都可以由8种基本空间合成”的断言，被称为“瑟斯顿几何化猜想”。这8种基本空间包括三维欧氏空间、三维球面、三维双曲型非欧空间以及另外5种有点怪异的黎曼空间。由此可看出，瑟斯顿的断言蕴含了庞加莱猜想。以后的发展表明，瑟斯顿指示了攻克庞加莱猜想的一个正确方向。1982年，瑟斯顿因其在三维流形研究中开创性的工作而荣获菲尔兹奖章。
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▲ 图9.2.1
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3.“几何分析”方法另辟蹊径
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拓扑学的早期研究主要使用代数方法，因此有“代数拓扑学”之称。以后，微分几何逐渐成为拓扑学的主要研究工具，于是又有“微分拓扑学”之名。
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微分几何研究“流形”（manifolds）或叫做“空间”（spaces），其实就是拓扑学中的几何图形。由于高斯、黎曼、嘉当和陈省身等人的开拓性工作，微分几何已发展成为纯粹数学的一个充满活力的主要分支；凭借其处理流形的丰富手段，因而能够在拓扑学研究中发挥强有力的作用。特别是一种叫做“几何分析”的方法，它通过解流形上的非线性偏微分方程来揭示流形的结构信息，后来成为打通庞加莱猜想证明之路的利器。
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偏微分方程属于数学的分析领域，将其放在流形上后，就形成了几何与分析交叉的一个新领域，所以称为“几何分析”。该领域兴起于20世纪70年代，著名华人数学家丘成桐一直是其中的领袖人物。
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丘成桐（Yau Shing-Tung，1949—）出生于广东省汕头市，不久移居香港。14岁时，身为大学哲学教授的父亲突然病逝，使全家生活陷入困境。全凭母亲支撑，将七个子女抚养长大。丘成桐小时读书并不用功，父亲过世令他开始发奋，1966年以优异成绩考入香港中文大学数学系，3年后来到美国加利福尼亚大学伯克利分校，在陈省身指导下学习微分几何，并于1971年提前获取博士学位。他先后在普林斯顿高等研究所任研究员，在加州大学圣地亚哥大学任教授，1987年起任哈佛大学教授，1993年，在加入美国国籍之后当选为美国科学院院士。
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丘成桐的代表性数学贡献就是于1976年证明了“卡拉比猜想”，这是由意大利裔美国几何学家卡拉比（Eugenio Calabi，1924—）在1954年提出的，关于紧复流形上的第一陈（省身）示性类与度量之间关系的一个断言；他的另一个重要贡献是在1978年与人合作证明了广义相对论中的正质量猜测。这些成就大都通过解流形上的偏微分方程取得。
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