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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022623]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第8章 美丽又神秘的随机性
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在进行显著性检验时，甚至在进行由费舍尔提出并被继任者们不断完善的复杂运算之前，我们会遇到一个非常棘手的哲学难题。在第二个步骤的开头，即当我们“假定零假设为真”时，这个难题便会悄然而至。
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在大多数情况下，例如在检验避孕药的副作用、莎士比亚的头韵修辞法、《托拉》能预测未来等问题时，我们需要证明的是零假设不成立。做出一个与我们的预期目标相反的假设，从逻辑上讲，似乎有循环论证的嫌疑。
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关于这个问题，我们其实无须担心，它是始于亚里士多德并经过时间检验的论证方法，叫作反证法或归谬法。反证法是数学领域的柔道，为了证明某个命题不正确，先假设该命题为真，然后借力打力，通过一个“过肩摔”来完成证明。如果结果是错误的[1]，那么该假设必然是假命题，其思路为：
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·假定假设H为真；
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·根据H，某个事实F不成立；
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·但F是成立的；
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·因此，H不成立。
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假如有人冲着我们惊呼：2012年，哥伦比亚特区有200名儿童遭遇枪击身亡。这就是一个假设，但是可能难以核实。如果假定该假设是正确的，那么在2012年，哥伦比亚特区的杀人犯总数就不可能少于200人。但是，那一年的杀人犯总数是88人，少于200人。因此，这个假设肯定是错误的，而且这个论证过程中没有任何循环论证的成分。试探性地“假定”一个假设为真，也就是建立一个与事实相反的虚拟世界，使H成立，然后观察H在现实的作用下轰然坍塌。
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从这种表述来看，反证法几乎毫无价值，从某种意义上讲也的确如此。但是，更准确地说，反证法是一种推理工具，我们对这种工具的使用已经得心应手，以至于我们都忘记了它的强大作用。实际上，毕达哥拉斯在证明2的平方根是无理数时，借助的就是这种非常简单的反证法。这个证明方法完全颠覆了传统，令人震惊的同时也让人们对它的始作俑者爱恨交加。它的证明过程十分简单、精炼，即使全部写出来也用不了多少篇幅。
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假定H：2的平方根是有理数。
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即可表示成分数m/n的形式，其中m、n是整数。我们还可以写出最简分数的形式，也就是说，如果分子与分母有公因数，就同时除以该公因数，分数保持不变。既然5/7的形式更为简单，我们就没有理由把这个分数写成10/14的形式。因此，该假设可以下述方式重新表述：
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假定H：2的平方根等于m/n，其中m与n为没有公因数的整数。
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也就是说，m与n不可能同时为偶数。如果两者同时为偶数，就说明它们有公因数2，此时，跟化简10/14这个分数一样，我们可以把分子与分母同时除以2，该分数保持不变。简言之，分子与分母同为偶数的分数不是最简分数。因此，F（m与n同为偶数）是不成立的。
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既然，等式两边同时平方，我们可以得到。因此，m2是一个偶数，从而说明m是偶数。一个数字是偶数的条件是该数字可以写成整数与2的乘积的形式，因此，我们可以把m写成2k的形式，k为整数（事实上，我们就是用这种形式来表示偶数的），即。等式两边同除以2，得到。
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上述代数运算有什么意义呢？其实就是证明n2是k2的2倍，因此n2是一个偶数。如果n2是偶数，n就与m一样，也是一个偶数，这说明F是一个真命题！通过假定H为真，我们得到一个错误的甚至是荒谬的结果：F既是真命题，又是假命题。因此，H必然是错误的，也就是说，2的平方根不是有理数。通过假定2的平方根是有理数，我们成功地证明它并不是有理数。这个方法的确很奇怪，但却行之有效。
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我们可以把零假设显著性检验视为一种模糊的反证法：
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·假定零假设H为真；
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·根据H，得到某个结果O的可能性非常小（比如，低于费舍尔设定的0.05这个临界值）;
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·但O是可以观察到的事实；
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·因此，H成立的可能性非常小。
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换句话说，这不是归谬法，而是“归为不可能法”（reductio ad unlikely）。
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