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魔鬼数学:大数据时代,数学思维的力量 第18章 一个凭空创造出来的新奇世界
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孔多塞认为,“谁是最佳领导人”之类的问题都有一个正确答案。他还认为,公民就是研究此类问题的某种科学工具,虽然这种工具会有测量失准的风险,但总体来讲最终是能够得出准确结果的。在他看来,民主与少数服从多数原则都不可能错,都能通过数学方法得到验证。
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现在,讨论民主的方式已经发生了改变。对我们大多数人而言,民主的选择方案之所以有吸引力,原因在于其公平性。我们讨论的是公民的权利,认为人民应当可以选择自己的领导人(无论他们的选择是否明智),并把这个信条视为道德的基础。
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不仅政治如此,思维活动的所有领域都应该遵从这一基本认识:我们是不是正在考虑是非问题,或者正在思考我们所遵循的规则与程序允许哪些结论呢?这两个概念通常是一致的,但是,一旦出现分歧,就会招致各种困难,并引发概念性问题。
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大家可能认为做出是非判断是我们应该做的事,但在涉及刑事案件时,情况有可能会发生变化。比如,被告确实有犯罪行为却无法宣判有罪(因为获取证据的方法不当),或者没有犯罪却因为某种原因被判有罪。在惩戒犯罪、释放无辜者与严格执行刑事审判程序之间,正义该如何做出选择呢?我们已经见识了费舍尔与内曼及皮尔逊之间的纷争,我们应该接受费舍尔的观点,想方设法弄清楚我们相信的假设中有哪些是正确的;还是根据内曼–皮尔逊的观点,根本不考虑假设是否正确的问题,而思考另一个问题:我们应该根据所选择的推理方法,证明哪些假设(无论真实与否)是正确的呢?
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即使在数学这个被普遍视为确定性乐土的领域中,我们也会遇到上述问题。而且,这些问题不是来自当代某个晦涩难懂的研究领域,而是存在于古老的经典几何学之中,即我们前文提及的欧几里得公理。它的第五条是:
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如果P是一个点,L是不经过P的一条直线,那么有且只有一条直线通过点P且与L平行。
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这条公理是不是有点儿古怪呢?与其余4条公理相比,它复杂得多,而且不是那么显而易见。不管怎么说,几百年以来,几何学家们都有这种感觉。人们认为欧几里得本人也不喜欢这条公理,因为他在证明《几何原本》的前28个命题时只使用了前4条公理。
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简洁性有所欠缺的公理就像角落里地板上的污点一样,从本质上讲不会造成麻烦,但却令人无法容忍,因此我们会花大量时间擦拭污点,想让地板变得光亮整洁。数学中的“抛光”工作就是要证明第五条公理,即所谓的“平行公设”是由其他公理推导得出的。如果确实如此,人们就可以把它从欧几里得公理中剔除出去,使欧几里得公理一尘不染、熠熠生辉。
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在经过两千年的擦拭之后,这个“污点”还在那里。
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1820年,匈牙利贵族法卡斯·波尔约(Farkas Bolyai)在多年探索该问题无果之后,送给他的儿子雅诺什·波尔约(Janos Bolyai)以下忠告:
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你千万不要走尝试证明平行公设这条路,我非常清楚走这条路的最终结果。这是一条不归之路,在我走上这条路后,我的人生丧失了所有光明与欢乐。我恳求你不要去研究平行问题……为了去除几何学中的瑕疵,还人类一门完美无缺的科学,我甘愿献出自己的生命。在我历尽艰辛之后,取得了远胜于同行的成果,但是我仍然没有得偿所愿……在发现没有人可以走完这段黑暗历程之后,我终于退缩了,没有得到任何安慰,内心充满了对自己、对整个人类的怜悯之情。你一定要吸取我的教训……
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不是所有人都会接受父亲的建议,数学家也不会轻言放弃。小波尔约持之以恒地研究平行问题,终于在1823年粗略回答了这个古老的问题。他在给父亲的信中说:
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我有了一些奇妙的发现,连我自己都震惊不已。如果忽视这些发现,将造成永远无法弥补的损失。亲爱的父亲,等你看到我的这些成果你就会明白,但现在我只能告诉你:我凭空创造了一个新奇的世界。
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在研究这个问题时,小波尔约另辟蹊径,不是试图通过其他公理来证明平行公设,而是充分发挥想象力,采取了逆向研究的方式。他想,如果平行公设是错误的,会产生什么结果呢,会不会得出自相矛盾的结论?随后,他发现这个问题的答案是否定的,因为有一门几何学与欧几里得几何学不同。在这门几何学中,前4个公理都是正确的,但平行公设却是错误的。因此,不可能用其他公理来证明平行公设,否则波尔约几何学就不可能存在。但问题是,波尔约几何学的确存在。
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有时候,数学成果会出现“撞车”现象。在数学界终于迎来某个突破时,这种突破竟然会在几个地方同时发生。为什么会出现这种情况,原因还不得而知。当小波尔约在奥匈帝国埋头构建非欧几里得几何学时,尼古拉·罗巴切夫斯基(Nikolai Lobachevskii)正在俄罗斯开展同样的工作,而老波尔约的老朋友高斯已经完成了很多类似的研究工作,只不过还没有发表。(在听说了小波尔约的论文之后,高斯有失风度地说:“如果我赞扬他的成果,那就是赞扬我自己。”)
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限于篇幅,这里无法详细介绍小波尔约、罗巴切夫斯基、高斯的所谓“双曲几何学”(hyperbolic geometry)。不过,几十年之后,伯恩哈特·黎曼(Bernhard Riemann)发现,简化版的非欧几里得几何学根本算不上是一个新奇的世界,它其实就是球面几何学。
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让我们重温一下欧几里得公理的前4条:
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·任意两点可以通过一条直线连接;
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·任意线段能延长为任意长度的直线;
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·给定任意线段L,都可以以其为半径画一个圆;
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·所有直角都相同。
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