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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 [:1701022636]
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魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量 第18章 一个凭空创造出来的新奇世界
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孔多塞认为，“谁是最佳领导人”之类的问题都有一个正确答案。他还认为，公民就是研究此类问题的某种科学工具，虽然这种工具会有测量失准的风险，但总体来讲最终是能够得出准确结果的。在他看来，民主与少数服从多数原则都不可能错，都能通过数学方法得到验证。
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现在，讨论民主的方式已经发生了改变。对我们大多数人而言，民主的选择方案之所以有吸引力，原因在于其公平性。我们讨论的是公民的权利，认为人民应当可以选择自己的领导人（无论他们的选择是否明智），并把这个信条视为道德的基础。
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不仅政治如此，思维活动的所有领域都应该遵从这一基本认识：我们是不是正在考虑是非问题，或者正在思考我们所遵循的规则与程序允许哪些结论呢？这两个概念通常是一致的，但是，一旦出现分歧，就会招致各种困难，并引发概念性问题。
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大家可能认为做出是非判断是我们应该做的事，但在涉及刑事案件时，情况有可能会发生变化。比如，被告确实有犯罪行为却无法宣判有罪（因为获取证据的方法不当），或者没有犯罪却因为某种原因被判有罪。在惩戒犯罪、释放无辜者与严格执行刑事审判程序之间，正义该如何做出选择呢？我们已经见识了费舍尔与内曼及皮尔逊之间的纷争，我们应该接受费舍尔的观点，想方设法弄清楚我们相信的假设中有哪些是正确的；还是根据内曼–皮尔逊的观点，根本不考虑假设是否正确的问题，而思考另一个问题：我们应该根据所选择的推理方法，证明哪些假设（无论真实与否）是正确的呢？
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即使在数学这个被普遍视为确定性乐土的领域中，我们也会遇到上述问题。而且，这些问题不是来自当代某个晦涩难懂的研究领域，而是存在于古老的经典几何学之中，即我们前文提及的欧几里得公理。它的第五条是：
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如果P是一个点，L是不经过P的一条直线，那么有且只有一条直线通过点P且与L平行。
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这条公理是不是有点儿古怪呢？与其余4条公理相比，它复杂得多，而且不是那么显而易见。不管怎么说，几百年以来，几何学家们都有这种感觉。人们认为欧几里得本人也不喜欢这条公理，因为他在证明《几何原本》的前28个命题时只使用了前4条公理。
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简洁性有所欠缺的公理就像角落里地板上的污点一样，从本质上讲不会造成麻烦，但却令人无法容忍，因此我们会花大量时间擦拭污点，想让地板变得光亮整洁。数学中的“抛光”工作就是要证明第五条公理，即所谓的“平行公设”是由其他公理推导得出的。如果确实如此，人们就可以把它从欧几里得公理中剔除出去，使欧几里得公理一尘不染、熠熠生辉。
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在经过两千年的擦拭之后，这个“污点”还在那里。
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1820年，匈牙利贵族法卡斯·波尔约（Farkas Bolyai）在多年探索该问题无果之后，送给他的儿子雅诺什·波尔约（Janos Bolyai）以下忠告：
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你千万不要走尝试证明平行公设这条路，我非常清楚走这条路的最终结果。这是一条不归之路，在我走上这条路后，我的人生丧失了所有光明与欢乐。我恳求你不要去研究平行问题……为了去除几何学中的瑕疵，还人类一门完美无缺的科学，我甘愿献出自己的生命。在我历尽艰辛之后，取得了远胜于同行的成果，但是我仍然没有得偿所愿……在发现没有人可以走完这段黑暗历程之后，我终于退缩了，没有得到任何安慰，内心充满了对自己、对整个人类的怜悯之情。你一定要吸取我的教训……
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不是所有人都会接受父亲的建议，数学家也不会轻言放弃。小波尔约持之以恒地研究平行问题，终于在1823年粗略回答了这个古老的问题。他在给父亲的信中说：
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我有了一些奇妙的发现，连我自己都震惊不已。如果忽视这些发现，将造成永远无法弥补的损失。亲爱的父亲，等你看到我的这些成果你就会明白，但现在我只能告诉你：我凭空创造了一个新奇的世界。
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在研究这个问题时，小波尔约另辟蹊径，不是试图通过其他公理来证明平行公设，而是充分发挥想象力，采取了逆向研究的方式。他想，如果平行公设是错误的，会产生什么结果呢，会不会得出自相矛盾的结论？随后，他发现这个问题的答案是否定的，因为有一门几何学与欧几里得几何学不同。在这门几何学中，前4个公理都是正确的，但平行公设却是错误的。因此，不可能用其他公理来证明平行公设，否则波尔约几何学就不可能存在。但问题是，波尔约几何学的确存在。
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有时候，数学成果会出现“撞车”现象。在数学界终于迎来某个突破时，这种突破竟然会在几个地方同时发生。为什么会出现这种情况，原因还不得而知。当小波尔约在奥匈帝国埋头构建非欧几里得几何学时，尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevskii）正在俄罗斯开展同样的工作，而老波尔约的老朋友高斯已经完成了很多类似的研究工作，只不过还没有发表。（在听说了小波尔约的论文之后，高斯有失风度地说：“如果我赞扬他的成果，那就是赞扬我自己。”）
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限于篇幅，这里无法详细介绍小波尔约、罗巴切夫斯基、高斯的所谓“双曲几何学”（hyperbolic geometry）。不过，几十年之后，伯恩哈特·黎曼（Bernhard Riemann）发现，简化版的非欧几里得几何学根本算不上是一个新奇的世界，它其实就是球面几何学。
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让我们重温一下欧几里得公理的前4条：
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·任意两点可以通过一条直线连接；
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·任意线段能延长为任意长度的直线；
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·给定任意线段L，都可以以其为半径画一个圆；
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·所有直角都相同。
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