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基础拓扑学讲义 [:1701040197]
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基础拓扑学讲义 序言
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拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支（特别是几何类和分析类分支）中有着广泛的应用，有的甚至已成为通用语言．拓扑学在物理学，经济学等部门也有许多应用．拓扑课已是综合性大学和许多师范院校数学系的一门重要课程．
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北京大学开设拓扑学课程已有悠久历史，并于1978年出版我国第一本拓扑学教科书《拓扑学引论》．本书编者从1979年以来就在北京大学数学系讲授这门课程，当时就选用《拓扑学引论》作为教材，并参照1980年5月教材编审委员会审定的《拓扑学教学大纲》作了删节和补充，以后又选用《基础拓扑学》（M. A. Armstrong著，孙以丰译，北京大学出版社，1983）为教材和主要参考书．在十多年的教学实践中，编者对本课程有了较深刻的理解，并积累了大量素材和经验，为编写本书作了充分的准备．
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本书是贡献给初学拓扑学的读者的．它为深入学习许多数学课程提供了必要的拓扑学基础知识，它也可作为学习和研究拓扑学的入门教材．
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本书的内容可分为点集拓扑和代数拓扑两部分，侧重于后者．
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点集拓扑部分介绍了关于拓扑空间、连续映射的最基本的概念，还介绍了乘积空间、商空间、紧致性和连通性等重要而常用的概念，以及它们的性质．这部分内容与分析学有着密切联系，可看作分析学相应内容的提高和深化．尽管我们的论述建立在公理化的定义的基础上，似乎并不直接用到分析学的知识，但具有良好的分析学基础，对接受和理解这部分内容是很有帮助的．这部分内容还要求读者熟悉集合和映射的知识．
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代数拓扑部分介绍了基本群，复叠空间，单纯同调群等代数拓扑中最简单、最直观的内容，它们都有很广泛的应用．这部分内容涉及到代数学的许多基本概念，例如群，Abel群，自由循环群，同态，同构等等，要求读者对它们能够熟练的运用．
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拓扑学是几何学的一个分支，许多概念都有很强的几何背景．但是在表达形式上它又是很抽象的．它的概念用公理化的方法建立；它没有分析学科那么多的计算，却大量运用逻辑推理．因此，它不需要许多知识上的准备，但需要良好的数学素养．反过来，学习拓扑学又能得到抽象思维和逻辑推理能力的训练．
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本书是一学期的教材．根据编者的经验，用72学时可以讲完主要内容．如果放弃带*号的节和内容，将能更加从容些．如果学时还不够，有些章节可删去，不影响后面内容的学习，如第五章复叠空间，第七章单纯同调群（下）（在讲完第六章单纯同调群（上）后，介绍第七章的主要结果，跳讲第八章）．有的定理（命题）的证明比较复杂，其方法对本书其他部分又没有大的影响，也可以省略不讲．例如第二章第二节中的三个定理，第三章的闭曲面分类定理．
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在本书的编写过程中，得到姜伯驹教授热情帮助．他在全书内容的取舍和编排方面都提出了很好的意见．有的论证的思路（例如对径映射的映射度的计算，命题8.3）也是他提供的．在此谨表示衷心的感谢．
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编 者
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1996年10月于北京大学
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基础拓扑学讲义 [:1701040198]
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基础拓扑学讲义 引言 （拓扑学的直观认识）
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“什么是拓扑学？”这是许多初学者都会提出的问题．拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的．但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一类特殊性质，即所谓“拓扑性质”．于是，要了解拓扑学就要知道什么是图形的拓扑性质．然而，尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也具有很强的几何直观，却很难用简单通俗的语言来准确地描述．它的确切定义是用抽象的语言叙述的，这里还不能给出．下面介绍几个有趣的问题，它们涉及到的都是图形的拓扑性质，希望读者能从中得到关于拓扑性质的一些直观认识．
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一笔画问题和七桥问题
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一笔画是一个简单的数学游戏．平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字“日”、“中”都是可以一笔写出来的，而“田”和“目”则不能一笔写成．
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显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为“图形能不能一笔画成”和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构．我们可以随意地将图形变形，如拉伸、压缩或弯曲等，甚至可将一些线段搬家（但保持端点不动），只要图形的整体结构不改变，“能不能一笔画出”这个性质是不会改变的．例如图1中的（a）和（b）都是“日”字的变形，都能一笔画出；（c），（d）和（e）都是“田”字的变形，都不能一笔画出．
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著名的七桥问题对拓扑学的产生和发展曾起了一定的作用，实质上它是一个一笔画问题．七桥问题是这样的：流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾处有两个小岛，七座桥连结了两岸和小岛（图2左图）．当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次．很长时间里没有人能做到．后来大数学家Euler研究了这个游戏．他用点代表陆地（两岸和岛），用连结各点的线代表桥，得到图2右图中的图形．于是上述游戏变成这个图形能不能一笔画成的问题了．Euler证明它是不能一笔画成的．
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