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基础拓扑学讲义 第一章 拓扑空间与连续映射
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引言中我们已经在欧氏空间及其子集的范围内说明了什么是图形间的拓扑变换，什么是图形的拓扑性质．但是，许多数学分支的活动范围早已突破了欧氏空间的限制，甚至也超出了度量空间的领域，拓扑学作为这些数学分支的基础，必须研究更加一般的空间．现在我们要找一种能用来刻画拓扑性质的新的空间结构，以替代欧氏结构和度量结构．这种新结构就是所谓拓扑结构．
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§1 拓扑空间
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映射的连续性是刻画拓扑变换的关键概念，因此我们寻找的新结构要能用来刻画连续性概念．先回顾数学分析中函数连续性是怎么规定的．
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设f：E1→E1是一个函数，x0∈E1．f在x0处连续的含义有多种描述方法，例如：
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用序列语言：如果序列｛xn｝收敛到x0，则序列｛f（xn）｝收敛到f（x0）；
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用ε-δ语言：对任意正数ε＞0，总可找到δ＞0，使得当｜x－x0｜＜δ时，｜f（x）－f（x0）｜＜ε；
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用开集语言：若V是包含f（x0）的开集①，则存在包含x0的开集U，使得f（U）⊂V．
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ε-δ法用到E1中的距离概念；序列方法用的也是距离，因为｛xn｝收敛到x0也就是｜xn－x0｜→0．因此，这两种方法可直接用来规定度量空间之间映射的连续性．第三种方法则绕开了度量，直接用E1中的开集刻画连续性．于是，只要知道图形的哪些子集是开集，就可规定映射的连续性概念．所谓拓扑空间就是具有开集结构的空间．
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1.1 拓扑空间的定义
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设X是一个非空集合，记2X是X的幂集，即以X的所有子集（包含空集∅和X自己）为成员的集合．把2X的子集（即以X的一部分子集为成员的集合）称为X的子集族．
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定义1.1 设X是一非空集合．X的一个子集族τ称为X的一个拓扑，如果它满足
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（1）X，∅都包含在τ中；
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（2）τ中任意多个成员的并集仍在τ中；
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（3）τ中有限多个成员的交集仍在τ中．
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集合X和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记作（X，τ）．称τ中的成员为这个拓扑空间的开集．
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定义中的三个条件称为拓扑公理．（3）可等价地换为
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（3′）τ中两个成员的交集仍在τ中．
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（3）蕴含（3′），另一方面容易用归纳法从（3′）推出（3）．
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从定义看出，给出集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集．这种规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理．但是一般来说一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑．以后在不会引起误解的情况下，也常常只用集合来称呼一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等．
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设X是一非空集合．显然2X构成X上的拓扑，称为X上的离散拓扑；｛X，∅｝也是X上的拓扑，称为X上的平凡拓扑．当X中包含多于一个点时，这两个拓扑不相同，并且X还有许别的拓扑．例如设X＝｛a，b，c｝，则｛X，∅，｛a｝｝，｛X，∅，｛a，b｝｝，｛X，∅，｛a｝，｛a，b｝｝都是X上的拓扑；但｛X，∅，｛a｝，｛b｝｝不是拓扑，因为条件（2）不满足；读者还可找到许多别的拓扑．
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设τ1，τ2是集合X上的两个拓扑，如果τ1⊂τ2，则说τ2比τ1大（或说τ2比τ1精细）．离散拓扑比任何别的拓扑都大，而平凡拓扑比别的拓扑都小．
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下面给出几个有用的例子．
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例1 设X是无穷集合，τf＝｛Ac｜A是X的有限子集｝∪｛∅｝，则不难验证τf是X的一个拓扑，称为X上的余有限拓扑．
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