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基础拓扑学讲义 [:1701040211]
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§1 几个常见曲面
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在曲面中，除了平面E2和球面S2外，最常见的是平环、Möbius带、环面、Klein瓶和射影平面．它们都可以用矩形面块经过粘合而得到．
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1.1 平环和Möbius带
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把矩形面块弯曲并将两侧边粘接，得到一截圆柱面（图3-1）.
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图3-1
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它同胚于平面上由两个同心圆所夹的环带，因此拓扑上称它为平环．确切地说，平环是一个拓扑等价类中诸空间的统称，不论这个空间确实是一环带，还是圆柱面或其他形状，也不管它的大小，只要属于该拓扑等价类，都称作平环．
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制造平环时，只要将矩形弯曲而不要拧转，因此矩形两侧边上同高度的点相粘合．图3-1中，矩形两侧标相同文字的点表示要粘合在一起的．如果先将矩形拧转180°，再将两侧边粘接（如图3-2所示），所得空间就是著名的Möbius带．
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图3-2
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从直观上看，Möbius带与平环有许多不同之处．首先，平环的边界是两条封闭曲线，它们分别由原矩形的上下边将两端点粘合而得到；而制造Möbius带时，原矩形上边的两端与下边两端粘合，连成一条曲线，因此Möbius带的边界是一条封闭曲线．其次，平环是双侧的，Möbius带是单侧的．当然，局面地看，Möbius带上每一点附近的面块有两个侧向，但从整体上看，这两侧是连成一片的，从某一点的一侧在带上移动可以到达该点的另一侧，中间不用翻越边界．在平环上这是做不到的．还有，沿平环的中线割开可将平环分割成两个平环，而沿Möbius带的中线割开得到的还是连通的一条带子（请读者说明这是一个平环）．以上的差别，从直观上说明了平环与Möbius带不同胚．以后会严格证明它们是不同胚的．
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1.2 环面和Klein瓶
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环面和Klein瓶都可以用一截圆柱面（平环）将两个截口互相粘接而得到．
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图3-3
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如果每一直母线段的两端粘合，所得到的是环面（图3-3），两个截口是以相同的方向相粘接的．如果让两个截口方向相反地粘接，则得到Klein瓶（图3-4）．要实现这样的粘接，必须将圆柱面弯曲后，把一端穿过管壁进入管内与另一端相接．在3维空间中这是做不到的，因为在进入管内之处必然要相交．但在4维空间中可以实现（让相交点的第四个坐标不同，从而把它们分开）．
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图3-4
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Klein瓶也是单侧的（图3-4），以后要证明它与环面不同胚．
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环面是一种常见曲面．各种轮胎的表面是环面；圆周绕着与它共面但相离的轴线旋转得到环面（图3-5），称此圆周上的点旋出的圆为纬圆，以轴线为界的半平面与环面的交线称为经圆；S1×S1是环面（§2习题6）．一般地记Tn＝S1×…×S1，称为n维环面．这里讨论的是2维环面T2．
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图3-5
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