1701042818
基础拓扑学讲义 [:1701040212]
1701042819
§2 商空间与商映射
1701042820
1701042821
2.1 商空间
1701042822
1701042823
设拓扑空间X上作某种粘合得到新空间．如果把要粘在一起的点称为互相等价的点，X上就有了一个等价关系，每个等价类被粘合为新空间上的一个点．因此新空间的集合就是等价类的集合．一般地，一个集合X上如果有等价关系～，相应的等价类的集合记作X/～，称为X关于～的商集．把X上的点对应到它所在等价类，得到映射p：X→X/～，称为粘合映射．设X已有了拓扑，现在我们来规定X/～上的一个拓扑．
1701042824
1701042825
定义3.1 设（X，τ）是拓扑空间，～是集合X上的一个等价关系．规定商集X/～上的子集族
1701042826
1701042827
1701042828
1701042829
1701042830
1701042831
1701042832
则是X/～上的一个拓扑（请读者自己验证），称为τ在～下的商拓扑，称是（X，τ）关于～的商空间．
1701042833
1701042834
1701042835
以后，我们在不致产生误解的情况下，把简单记作X/～．
1701042836
1701042837
1701042838
1701042839
按照定义，X/～的开集也就是在p之下原像是X中开集的那些子集．显然p：X→X/～是连续的；并且，如果集合X/～上另有拓扑τ′使得p连续，则因此是X/～上使得粘合映射p连续的最大的拓扑．
1701042840
1701042841
1701042842
1701042843
定理3.1 设X，Y是两个拓扑空间，～是X上的一个等价关系．g：X/～→Y是一映射，则g连续gp连续．
1701042844
1701042845
1701042846
1701042847
证明 ．由于p连续，当g连续时，复合映射gp也连续（见右图所示的交换图表）．
1701042848
1701042849
1701042850
1701042851
1701042852
．须要对Y的任一开集V，验证g-1（V）是X/～的开集．这是因为p-1（g-1（V））＝（gp）-1（V）是X的开集（根据gp连续），按商拓扑的定义，g-1（V）确是开集． ▎
1701042853
1701042854
1701042855
1701042856
1701042857
1701042858
现在用商空间的观点来看§1中的“粘合”方法．以环面T2为例．记X是用来粘制T2的圆柱面．粘合过程规定了从X到T2的连续映射f．记～是粘合决定的等价关系，g：X/～→T2是相应的一一对应关系，于是f＝gp．因为f连续，所以g连续（定理3.1）．由于X紧致和p连续，X/～是紧致的，而T2是Hausdorff空间．根据定理2.6，连续的一一对应g是同胚．这就是说，在拓扑意义上看，T2就是商空间X/～．这样，我们就可以完全摆脱直观，直接用商空间概念来理解§1中所说的粘合方法了．像射影平面那样不好理解的粘合制作法也就有了明确的意义．反过来粘合法就是商空间这个抽象概念的直观背景．
1701042859
1701042860
下面用商空间概念规定一种常用的空间．
1701042861
1701042862
设A是拓扑空间X的一个子集（通常是闭子集），把A捏为一点（也就是将A看作一个等价类，别的点各自成一等价类），得到的商空间记作X/A．
1701042863
1701042864
对任一拓扑空间X，记CX：＝X×I/X×｛1｝，称为X上的拓扑锥．
1701042865
1701042866
如果X⊂En，取a∈En＋1En，规定En＋1的子集
1701042867