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§2 商空间与商映射
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2.1 商空间
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设拓扑空间X上作某种粘合得到新空间.如果把要粘在一起的点称为互相等价的点,X上就有了一个等价关系,每个等价类被粘合为新空间上的一个点.因此新空间的集合就是等价类的集合.一般地,一个集合X上如果有等价关系~,相应的等价类的集合记作X/~,称为X关于~的商集.把X上的点对应到它所在等价类,得到映射p:X→X/~,称为粘合映射.设X已有了拓扑,现在我们来规定X/~上的一个拓扑.
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定义3.1 设(X,τ)是拓扑空间,~是集合X上的一个等价关系.规定商集X/~上的子集族
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则是X/~上的一个拓扑(请读者自己验证),称为τ在~下的商拓扑,称是(X,τ)关于~的商空间.
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以后,我们在不致产生误解的情况下,把简单记作X/~.
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按照定义,X/~的开集也就是在p之下原像是X中开集的那些子集.显然p:X→X/~是连续的;并且,如果集合X/~上另有拓扑τ′使得p连续,则因此是X/~上使得粘合映射p连续的最大的拓扑.
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定理3.1 设X,Y是两个拓扑空间,~是X上的一个等价关系.g:X/~→Y是一映射,则g连续gp连续.
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证明 .由于p连续,当g连续时,复合映射gp也连续(见右图所示的交换图表).
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.须要对Y的任一开集V,验证g-1(V)是X/~的开集.这是因为p-1(g-1(V))=(gp)-1(V)是X的开集(根据gp连续),按商拓扑的定义,g-1(V)确是开集. ▎
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现在用商空间的观点来看§1中的“粘合”方法.以环面T2为例.记X是用来粘制T2的圆柱面.粘合过程规定了从X到T2的连续映射f.记~是粘合决定的等价关系,g:X/~→T2是相应的一一对应关系,于是f=gp.因为f连续,所以g连续(定理3.1).由于X紧致和p连续,X/~是紧致的,而T2是Hausdorff空间.根据定理2.6,连续的一一对应g是同胚.这就是说,在拓扑意义上看,T2就是商空间X/~.这样,我们就可以完全摆脱直观,直接用商空间概念来理解§1中所说的粘合方法了.像射影平面那样不好理解的粘合制作法也就有了明确的意义.反过来粘合法就是商空间这个抽象概念的直观背景.
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下面用商空间概念规定一种常用的空间.
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设A是拓扑空间X的一个子集(通常是闭子集),把A捏为一点(也就是将A看作一个等价类,别的点各自成一等价类),得到的商空间记作X/A.
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对任一拓扑空间X,记CX:=X×I/X×{1},称为X上的拓扑锥.
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如果X⊂En,取a∈En+1En,规定En+1的子集
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