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1701044525 基础拓扑学讲义 [:1701040221]
1701044526 §5 基本群的计算与应用
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1701044528 同伦不变性是计算基本群的有效工具.本节介绍计算基本群的另一个常用工具:Van-Kampen定理,它也能把复杂空间基本群的计算转化为较简单空间基本群的计算.本节还将介绍基本群的几个有代表性的应用.
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1701044530 5.1 Van-Kampen定理
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1701044532 Van-Kampen定理的叙述和证明都比较复杂,并涉及到较多的代数概念.许多文献中用母元与关系这种表示群的语言来叙述这个定理.本书中采用一种较容易接受的形式来表述.将要用到两个群的自由乘积的概念,读者可以在附录A中找到它的定义.定理的证明也不放在正文中,列为本书的附录B.附录B中还写出了用母元与关系这种语言来叙述Van-Kampen定理的方式.
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1701044534 k个自由循环群的自由乘积②称作秩为k的有限生成自由群.在每个自由循环群中取定生成元,得元素组{a1,a2,…,ak},则该有限生成自由群的每个元素都可唯一地用这组元素表出,因此把它称为由{a1,…,ak}自由生成的自由群,并记作F(a1,a2,…,ak).
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1701044536 易证F(a1,…,ak)*F(b1,…,bι)=F(a1,…,ak,b1,…,bι).
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1701044538 设A是群G的子集,把G中包含A的最小的子群称为由A生成的子群,记作〈A〉;把G中包含A的最小正规子群称为由A生成的正规子群,记作[A].
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1701044540 现在叙述定理.
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1701044542 定理4.7(Van-Kampen定理) 如果拓扑空间X可分解为两个开集X1与X2之并,并且X0=X1∩X2非空,道路连通.则∀x0∈X0,有
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1701044550 其中iι:X0→Xι(ι=1,2)是包含映射.
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1701044556 如果记也是包含映射,则同态和决定唯一的同态φ:π1(X1,x0)*π1(X2,x0)→π1(X,x0)(习题1).定理的结论可以明确地表述成:φ是满同态,并且Kerφ=[{(i1)π(α)(i2)π(α-1)|α∈π1(X0,x0)}].这就给出了定理要证明的两个方面,其中φ是满同态的证明还不算太困难(习题2),麻烦的是另一部分.有兴趣的读者可以参看附录B,也可在参考书目[4]和[5]中找到证明.
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1701044558 定理要求X1,X2都是开集,在许多情况下显得不方便.下面给出它的替代形式.
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1701044560 定理4.7a 如果定理4.7中X1,X2都改为闭集,并且X0是它的一个开邻域的强形变收缩核,其他条件不变,则结论仍成立.
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1701044562 对于不大熟悉代数的人,Van-Kampen定理的结论不大好理解,也不好应用.好在在本书中只在下列两种特殊的情形应用定理,对代数知识的依赖要少得多.
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1701044564 (1)X0是单连通的,这时结论简化为
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1701044569 (2)X2是单连通的,则
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1701044574 特别当π1(X0,x0)有生成元组A时,[Im(i1)π]=[(i1)π(A)].
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