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基础拓扑学讲义 [:1701040221]
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§5 基本群的计算与应用
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同伦不变性是计算基本群的有效工具．本节介绍计算基本群的另一个常用工具：Van-Kampen定理，它也能把复杂空间基本群的计算转化为较简单空间基本群的计算．本节还将介绍基本群的几个有代表性的应用．
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5.1 Van-Kampen定理
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Van-Kampen定理的叙述和证明都比较复杂，并涉及到较多的代数概念．许多文献中用母元与关系这种表示群的语言来叙述这个定理．本书中采用一种较容易接受的形式来表述．将要用到两个群的自由乘积的概念，读者可以在附录A中找到它的定义．定理的证明也不放在正文中，列为本书的附录B．附录B中还写出了用母元与关系这种语言来叙述Van-Kampen定理的方式．
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k个自由循环群的自由乘积②称作秩为k的有限生成自由群．在每个自由循环群中取定生成元，得元素组｛a1，a2，…，ak｝，则该有限生成自由群的每个元素都可唯一地用这组元素表出，因此把它称为由｛a1，…，ak｝自由生成的自由群，并记作F（a1，a2，…，ak）．
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易证F（a1，…，ak）*F（b1，…，bι）＝F（a1，…，ak，b1，…，bι）．
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设A是群G的子集，把G中包含A的最小的子群称为由A生成的子群，记作〈A〉；把G中包含A的最小正规子群称为由A生成的正规子群，记作［A］．
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现在叙述定理．
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定理4.7（Van-Kampen定理） 如果拓扑空间X可分解为两个开集X1与X2之并，并且X0＝X1∩X2非空，道路连通．则∀x0∈X0，有
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其中iι：X0→Xι（ι＝1，2）是包含映射．
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如果记也是包含映射，则同态和决定唯一的同态φ：π1（X1，x0）*π1（X2，x0）→π1（X，x0）（习题1）．定理的结论可以明确地表述成：φ是满同态，并且Kerφ＝［｛（i1）π（α）（i2）π（α-1）｜α∈π1（X0，x0）｝］．这就给出了定理要证明的两个方面，其中φ是满同态的证明还不算太困难（习题2），麻烦的是另一部分．有兴趣的读者可以参看附录B，也可在参考书目［4］和［5］中找到证明．
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定理要求X1，X2都是开集，在许多情况下显得不方便．下面给出它的替代形式．
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定理4.7a 如果定理4.7中X1，X2都改为闭集，并且X0是它的一个开邻域的强形变收缩核，其他条件不变，则结论仍成立．
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对于不大熟悉代数的人，Van-Kampen定理的结论不大好理解，也不好应用．好在在本书中只在下列两种特殊的情形应用定理，对代数知识的依赖要少得多．
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（1）X0是单连通的，这时结论简化为
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（2）X2是单连通的，则
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特别当π1（X0，x0）有生成元组A时，［Im（i1）π］＝［（i1）π（A）］．