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基础拓扑学讲义 [:1701040224]
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§1 复叠空间及其基本性质
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1.1 复叠映射与复叠空间
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复叠映射的一个典型例子是映射p：E1→S1，xei2πx．这个映射在π1（S1）的计算中起了关键性作用．它的重要特性是：∀z∈S1，p-1（S1｛z｝）是E1上一族互不相交的开区间的并集，并且p把其中每个开区间同胚地映成S1｛z｝．粗略地说，复叠映射就是具有类似特性的映射．
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图5-1
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定义5.1 设E和B都是道路连通、局部道路连通的拓扑空间，p：E→B是连续映射．如果∀b∈B有开邻域U，使得p-1（U）是E的一族两两不相交的开集｛Vα｝的并集，并且p把每个Vα同胚地映成U，则称p：E→B是复叠映射，E和p一起称为B上的复叠空间，记作（E，p），把B称为它的底空间（图5-1）．
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具有上面所说性质的开集U称为基本邻域．不难看出，包含在一个基本邻域中的任何开集也是基本邻域．由于B局部道路连通，∀b∈B都有道路连通的基本邻域，此时每个Vα也就是p-1（U）的道路分支．我们以后总是取道路连通的基本邻域，并且称每个Vα为p-1（U）的分支．
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∀b∈B，称p-1（b）是b点上的纤维．利用B的道路连通性可以证明，纤维的“势”（基数）与b的选择无关，称它为复叠空间（映射）的叶数（也叫层数）（习题2）．
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B的自同胚映射f：B→B是叶数等于1的复叠映射．p：E1→S1，xei2πx的叶数不是有限数．
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例1 S1到自身的整幂映射hn：S1→S1，zzn是复叠映射，叶数为n（图5-2）．
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图5-2
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例2 设p：Sn→Pn是粘合映射（粘合每一对对径点），则它也是复叠映射，叶数为2（图5-3）．
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图5-3
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以上两例请读者自己验证．也可用后面的命题5.1来说明．
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例3 把环面看成S1×S1．映射p：E2→T2，（x，y）（ei2πx，ei2πy）是复叠映射（参看习题5）（图5-4）．
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图5-4
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