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基础拓扑学讲义 [:1701040225]
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§2 两个提升定理
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本节讲两个重要的提升定理：同伦提升定理和映射提升定理，并介绍它们的一些应用．前一定理的一个应用是命题5.3，现在将补充其证明．本节中假定p：E→B是复叠映射．
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2.1 同伦提升定理
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定理5.2（同伦提升定理） 设和F：X×I→B都连续，并且满足则存在F的提升使得
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证明 ∀x∈X，记zx是F在x处的踪（见第四章§4），它是B上由zx＝F（x，t）决定的道路．由命题5.2，zx有唯一以为起点的提升，记作规定为则只须再验证的连续性．为此先证一个引理．
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引理 若F（｛x｝×［t0，t1］）在某个基本邻域中，并且的t0-切片在x连续，则存在x的邻域W，使得连续．
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证明 设F（｛x｝×［t0，t1］⊂基本邻域U，则因此有的开邻域V，使得p｜V：V→U是同胚．根据第二章§3中的引理和在x连续的假定，存在x的邻域W，使得并且F（W×［t0，t1］）⊂U（图5-9）．于是∀x′∈W，
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并且连通，因此一定包含在V中．这样从而是连续的．引理证毕．
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回到定理的证明．｛F-1（U）｜U⊂B是基本邻域｝是X×I的开覆盖．于是，∀x∈X，存在正整数n，将I等分为n个小区间I1，I2，…，In，则∀l，F（｛x｝×Il）包含于某个基本邻域．依次对｛x｝×I1，…，｛x｝×In用引理（注意在x连续，由连续得到在x连续），得到在｛x｝×I的一个邻域上连续．由x的任意性，得到连续． ▎
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