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基础拓扑学讲义 [:1701040226]
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§3 复叠变换与正则复叠空间
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本节介绍一类常见的复叠空间——正则复叠空间，及其特殊情形泛复叠空间．复叠变换虽然并不是正则复叠空间的特有概念，但只对正则复叠空间才显出它的用处．
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3.1 复叠变换
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定义5.2 设p∶E→B是一个复叠映射，E的一个自同胚h∶E→E如果满足ph＝p，就称为（E，p）的一个复叠变换（或称升腾）．
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按上节的术语，复叠变换也就是（E，p）的自同构．条件ph＝p就是说h是p的提升．
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显然，id∶E→E是复叠变换；复叠变换的逆也是复叠变换，复叠变换的乘积（复合）也是复叠变换．于是，全体复叠变换在乘积运算下构成群，称为（E，p）的复叠变换群，记作（E，p）．
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（E，p）中有多少元素？为了考察此问题，取定e∈E，记b＝p（e）．则每个复叠变换h把e变为p-1（b）中的点．根据提升唯一性，当h≠h′时，h（e）≠h′（e）．
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命题5.8 设e′∈p-1（b），则存在h∈（E，p）使得h（e）＝e′的充要条件是
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证明 必要性 设有h使h（e）＝e′，则
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充分性 若根据定理5.3，存在p∶E→B的提升h∶E→E和h′∶E→E，使得h（e）＝e′，h′（e′）＝e．于是h′h也是p∶E→B的提升，并且h′h（e）＝e．由提升唯一性，h′h＝id．同理hh′＝id．于是h是同胚，h∈（E，p）． ▎
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然而，在一般的复叠空间中，命题5.8的条件并不是总能成立的．
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例1 考察§1例4中的复叠空间．记字形的切点为b0，则p-1（b0）是复叠空间中的三个切点e1，e2，e3（图5-10）．不难证明复叠空间的每个自同胚必须保持e2不动，从而它只有恒同这一个复叠变换．
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图5-10
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3.2 正则复叠空间